3.1.1函数的概念（八个重难点突破）（原卷版）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）.docx

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3.1.1函数的概念

一、区间的表示及运算

五、同一个函数的判断

二、函数关系的判断

六、求抽象函数的定义域

三、求函数值或由函数值求参

七、求简单函数的值域

四、求具体函数的定义域

八、由函数的定义域或值域求参数

知识点1区间

1．区间的概念(为实数,且)

定义

名称

符号

数轴表示

闭区间

开区间

半闭半开区间

半开半闭区间

2．其他区间的表示

定义

符号

重难点一区间的表示及运算

【例1】用区间或集合表示下列数集：

（1）；

（2）＝．

【例2】已知区间，则实数a的取值范围为．（用区间表示）

【变式1-1】用区间表示下列集合：

①；

②；

③.

【变式1-2】不等式组的解集用区间表示为．

【变式1-3】已知全集，集合，，求，，．

知识点2函数的概念

1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.

2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．

3．对应关系

除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．

注意：

（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．

（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．

（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．

重难点二函数关系的判断

【例3】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（?????）

A． B． C． D．

【例4】已知集合，，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是（????）

A． B． C． D．

【变式2-1】下列四种说法中，不正确的是（填序号）．

①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；

②函数的定义域和值域一定是无限集合；

③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；

④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．

【变式2-2】下列对应关系中是A到B的函数的是（???）

A．，，

B．，，对应关系如图：

??

C．，，f：

D．，，f：

【变式2-3】（多选）下列各图象中，是函数图象的是（????）

A． B．

C． D．

重难点三求函数值或由函数值求参

【例5】已知函数y=fx的对应关系如下表，函数y=gx的图象如图，则的值为（????

1

2

3

2

3

0

A．3 B．0 C．1 D．2

【例6】如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为．

【变式3-1】已知函数满足，则（????）

A． B． C． D．

【变式3-2】已知，则（????）

A．2 B．3 C． D．

【变式3-3】已知函数，若，则的值等于（???）.

A．2 B． C． D．

知识点3同一个函数

1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．

2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．

知识点4常见函数的定义域和值域

函数

函数关系式

定义域

值域

正比例函数

反比例函数

一次函数

二次函数

重难点四求具体函数的定义域

【例7】函数的定义域为（???）

A． B．

C． D．

【例8】求下列函数的定义域：

(1)；

(2).

【变式4-1】函数的定义域是（????）

A． B． C． D．

【变式4-2】函数的定义域为

【变式4-3】求下列函数的定义域：

(1)；

(2)；

(3)．

重难点五同一个函数的判断

【例9】下列四组函数中，表示相同函数的一组是（????）

A． B．

C． D．

【例10】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（????）

A．与

B．与

C．与

D．与

【变式5-1】下列各组中的两个函数是同一函数的是（????）

①，；②，；③，；④，．

A．①② B．②③ C．③ D．③④

【变式5-2】下列函数中与函数相等的函数是（????）

A． B． C． D．

【变式5-3】与表示同一个函数的是（????）

A． B． C． D．

重难点六求抽象函数的定义域

【例11】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（????）

A． B． C． D．

【例12】已知函数的定义域是，则的定义域是（???）

A． B．

C． D．

【变式6-1】已知函