培优05 平面向量的最值范围及四心问题（六大题型）（原卷版）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练.docx

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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培优05平面向量的最值范围及四心问题

题型01数量积的最值范围问题

例1．在四边形ABCD中，．若P为线段上一动点，则的最大值为（????）

A．1 B．3

C．5 D．7

例2．已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（????）

A．0 B． C．1 D．2

练习1．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（????）

A．0 B． C．3 D．

练习2．已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．

练习3．在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是．

练习4．如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点；

(1)当M是线段CE的中点时，

①若，求的值；

②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数；

(2)当时，求的最小值.

题型02模长的最值范围问题

例3．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（????）

A．9 B．3 C． D．10

例4．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（????）

A． B． C． D．5

练习1．已知非零向量，满足，，则的最大值为

A． B． C． D．5

练习2．平面向量满足，若，则最小值为（????）

A．1 B． C． D．

练习3．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是．

练习4．已知．

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值；

(3)求的最小值．

题型03夹角的最值范围问题

例5．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

例6．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（????）

A．的最小值为

B．的最小值为

C．的最大值为

D．的最大值为

练习1．设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为．

练习2．已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是

练习3．已知向量.

(1)若，求；

(2)若为单位向量，对任意实数恒成立，求向量的夹角的取值范围.

练习4．已知，为单位向量，设向量，.

(1)若，求与的夹角；

(2)若，设向量，的夹角为，求的最小值.

题型04系数的最值范围问题

例7．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．7

例8．如图，在中，点是边的中点，过点的直线分别交射线于不同的两点.设，则的最大值为（????）

??

A． B．1 C． D．2

练习1．已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

练习2．在中，，点在线段（含端点）上运动，点是以为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若，则的最大值为（????）

A．1 B． C． D．

练习3．如图，在中，点P满足，过点P的直线与所在的直线分别交于点M，N，若，，，则的最小值为.

练习4．已知，点D满足，点E为线段CD上异于C，D的动点，若，则的取值范围是.

题型05“四心”问题

例9．已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（????）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例10．为所在平面内一点，且满足，则是的（????）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

练习1．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是（???）

A．点为的内心 B．点为的外心

C． D．为等边三角形

练习2．在中，设，那么动点的轨迹必通过的（????）

A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心

练习3．（多选）点在所在的平面内，则以下说法正确的有（????）

A．若，则点为的外心（外接圆圆心）

B．若，则动点的轨迹一定通过的重心

C．若，，分别表示，的面积，则

D．若，则点是的内心

练习4．已知点在所在的平面内，则下列各结论正确的个数是．

①若为的垂心，．则

②若为边长为2的正三角形，则的最小值为

③若，则动点的轨迹经的外心

④若为的重心，过点的直线分别与、交于、两点，若，，则

题型06奔驰定理

例11．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(????)

A． B． C． D．

例12．已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰