高中数学 单变量不含参不等式证明方法之切线放缩(学生版).docx.pdfVIP

高中数学单变量不含参不等式证明方法之切线放缩

xx

如图，y＝x＋1是y＝e在(0，1)处的切线，有e≥x＋1恒成立；y＝x－1是y＝lnx在(1，

x

0)处的切线，有lnx≤x－1恒成立．在不等式“改造”或证明的过程中，有时借助于e，lnx有

关的常用不等式进行适当的放缩，再进行证明，会取得意想不到的效果．

x

由e≥x＋1引出的放缩：

x－1x

①e≥x(用x－1替换x，切点横坐标是x＝1)，通常表达为e≥ex．

＋

xa

②e≥x＋a＋1(用x＋a替换x，切点横坐标是x＝－a)，平移模型，找到切点是关键．

x

③xe≥x＋lnx＋1(用x＋lnx替换x，切点横坐标满足x＋lnx＝0)，常见的指对跨阶改头换

面模型，切线的方程是按照指数函数给予的．

x

e2用替换x，切点横坐标是x＝2xex

x22n

④e≥xx(x0)2，通常有e(x0)的构造模型．

4n

由lnx≤x－1(也可以记为lnex≤x，切点为(1，0))引出的放缩：

x

最常见的就是ln(x＋1)≤x，由lnxx－1向左平移1个单位长度来理解，或者将e≥x＋1

两边取对数而来．

x

x用替换x，切点横坐标是x＝ex

①lnx≤e，表示过原点的f(x)＝lnx的切线为y＝．

ee

1

1用替换x，切点横坐标x＝1

②lnx≥1－x，或者记为xlnx≥x－1．

x

lnx

22

③lnx≤x－x(由lnx≤x－1及x－1≤x－x，切点横坐标是x＝1)，或者记为≤x－1．

x

1

1由lnx≤x－1≤(x2－1)

2

④lnx≤(x－1)