苏科版八年级数学上册尖子生同步培优题典专题2.6等腰三角形的轴对称性(2)特训(原卷版+解析).docxVIP

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

专题2.6等腰三角形的轴对称性（2）：等边三角形

【名师点睛】

1.等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

2.等边三角形的判定

（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．

（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．

【典例剖析】

【例1】（2020秋?赣榆区期中）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

（1）求证：△ABQ≌△CAP；

（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

【变式1】（2021秋?玄武区期中）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．

【例2】（2020秋?赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且AE＝BE．

（1）求∠CAE的度数；

（2）若点D为线段EC的中点，求证：△ADE是等边三角形．

【变式2.1】（2019秋?工业园区期末）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．

（1）求证：△BED是等腰三角形：

（2）当∠BCD＝°时，△BED是等边三角形．

【变式2.2】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

【满分训练】

一．选择题（共10小题）

1．（2019秋?盐都区期中）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为（）

A．4 B．30 C．18 D．12

2．（2022春?江都区校级月考）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（）

A．80° B．70° C．45° D．30°

3．（2021秋?鼓楼区月考）在等边三角形ABC中，AD是高，∠B的平分线交AD于E，下面判断中错误的是（）

A．点E在AB的垂直平分线上

B．点E到AB、BC、AC的距离相等

C．点E是AD的中点

D．过点E且垂直于AB的直线必经过点C

4．（2021秋?崇川区校级月考）如图，等边三角形纸片ABC的周长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2021秋?鼓楼区期中）已知三个城镇中心A、B、C恰好位于等边三角形的三个顶点，在A、B、C之间铺设光缆连接，实线为所铺的路线，四种方案中光缆铺设路线最短的是（）

A． B．

C． D．

6．（2021秋?如皋市期中）等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（）

A．30° B．45° C．60° D．75°

7．（2021秋?新吴区期中）在等边△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的动点，BD＝2AE，连接DE，以DE为边在△ABC内作等边△DEF，连接CF，当D从点A向B运动（不运动到点B）时，∠ECF大小的变化情况是（）

A．不变 B．变小

C．变大 D．先变大后变小

8．（2019秋?玄武区校级期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）

A．1 B．3 C．2 D．4

9．（2015秋?北塘区期中）如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A