2024版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第3节成对数据的统计分析.docxVIP

第三节成对数据的统计分析

考试要求：掌握散点图、最小二乘法思想、回归分析以及独立性检验．

一、教材概念·结论·性质重现

1．相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

2．散点图

将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的统计图叫做散点图．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．

3．正相关和负相关

(1)正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关.

(2)负相关：如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关．

相关关系与函数关系的区别与联系

(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．

(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．

4．线性相关和非线性相关

(1)一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．

(2)一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．

5．样本相关系数r

变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：r＝

(1)当r0时，称成对样本数据正相关；当r0时，称成对样本数据负相关；当r＝0时，称成对样本数据间没有线性相关关系．

(2)样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.

6．一元线性回归模型

我们称Y=bx+a+e，Ee=0，De=σ2为Y关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x

7．线性回归方程与最小二乘法

回归直线方程过样本点的中心(x，y)，

我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估计，

8．刻画回归效果的方式

(1)残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．

(2)残差平方和法：残差平方和k

(yi-yi)2，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．

9．独立性检验

(1)临界值χ2统计量也可以用来作相关性的度量，χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关，χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d.忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得

(2)基于概率值α的检验规则：

当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．

这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．

(√)

(2)通过经验回归方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势．(√)

(3)经验回归方程y＝bx＋a中，若a0，则变量x和y负相关． (×)

(4)因为由任何一组观测值都可以求得一个经验回归方程，所以没有必要进行相关性检验． (×)

2．(多选题)关于回归分析，下列说法正确的是()

A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定

B．线性相关系数可以是正的也可以是负的

C．在回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关

D．样本相关系数r∈(－1，1)

ABC解析：选项D中，样本的相关系数应满足－1≤r≤1，故D错误，ABC都正确．

3．以下四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系是()

A．r1＞r2＞r3＞r4 B．r4＞r3＞r2＞r1

C．r1＞r3＞r4＞r2 D．r1＞r2＞r4＞r3

C解析：由散点图的特征可知，(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关，所以r1＞0，r3＞0，r2＜0，r4＜0.

又(1)(2)中的散点更为集中，更接近于一条直线，故r1＞r3，r2＜r4，

所以r2＜r4＜0＜r3＜r1.

4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列