人教版高中数学精讲精练选择性必修二4.4 数学归纳法（精讲）（解析版）.pdfVIP

4.4数学归纳法（精讲）

考点一等式的证明

2221

【例1】（2022·广西河池）用数学归纳法证明：1122nnn(n1)(n2)（n为正整数）．

3

【答案】证明见解析

1

【解析】证明：①当n1时，左边，右边1232，等式成立．

2

3

*

②假设当nk(kN)时，等式成立，

2221

即1122kkk(k1)(k2)，

3

那么当nk1时，

222212

1122kk(k1)(k1)k(k1)(k2)(k1)(k1)

3

11

k(k1)(k2)(k1)(1k1)(k1)(k2)(k3)

33

1

(k1)[(k1)1][(k1)2]．

3

故当nk1时，等式也成立．

综上可知等式对任意正整数n都成立．

【一隅三反】

2－1*

1．（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×2＋…＋(2n－1)×2n＝2n(2n－3)＋3(n∈N).

【答案】证明见解析

【解析】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立.

*2－1

（2）假设当n＝k(k∈N)时，等式成立，即1＋3×2＋5×2＋…＋(2k－1)×2k＝2k(2k－3)＋3.

2－1

则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×2＋…＋(2k－1)×2k＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3

＋1

＝2k[2(k＋1)－3]＋3，

即当n＝k＋1时，等式也成立.

*

由（1）（2）知，等式对任何n∈N都成立.

*2222

2．（2021·全国·高二专题练习）已知n∈N，求证1·2－2·3＋…＋(2n－1)·(2n)－2n·(2n＋1)＝－n(n＋1)(4n

＋3)．

【答案】证明见解析

【解析】(1)当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝－1×2×7＝右边．

*22