2022-2023学年上海市南洋模范中学高三下学期开学考数学试卷含详解.docx

南洋模范2022学年第二学期高三年级数学开学考

2023.2

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为______（填数字）.

2.中心在原点，焦点在x轴上，过点，且离心率为的椭圆的标准方程为______．

3.若（为虚数单位）为方程（，）的一个根，则______．

4.若展开式中的系数为，则实数______.

5.直线与直线所成夹角的余弦值等于______

6.已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是____（填序号）.

①若，不平行，则在内不存在与平行直线；

②若m，n平行于同一平面，则与可能异面；

③若m，n不平行，则与不可能垂直于同一平面；

④若，垂直于同一平面，则与可能相交.

7.平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于A，B两点，，圆为的处接圆，则圆心的坐标是______.

8.已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．

9.已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数__________．

10.设是公比为等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=_____________.

11.中，，若，，其中，则的最小值为__________.

12.若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.已知，为正实数，则“”是“”的（）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

14.从贵阳市某高中全体高一学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则参加体能测试的人数n和频率分布直方图中a的值分别是（）

A. B.

C. D.

15.记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数n满足，则实数k的取值范围是（）

A. B.

C. D.

16.已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（）

A. B. C. D.

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17.已知函数的图象关于点对称．

（1）求，m的值；

（2）将图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

18.党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一．据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入（单位：万元）与年份代码（见下表）具有线性相关关系，计算得，，．

年份

2017

2018

2019

2020

2021

年份代码

1

2

3

4

5

（1）根据上表数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，精确到；

（2）求出关于线性回归方程．

参考公式：

相关系数，，．

19.如图在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，点E在线段AB上，且BE＝1，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE．

（1）求证：CE⊥平面A1DE；

（2）线段A1C上否存在一点F，使得BF//平面A1DE？说明理由．

20.设双曲线方程为，过其右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于A，B两点，直线的方程为，A，B在直线上的射影分别为C，D.

（1）当垂直于x轴，时，求四边形的面积；

（2），的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限，试比较与1的大小；

（3）是否存在实数，使得对满足题意的任意，直线和直线的交点总在轴上，若存在，求出所有的值和此时直线和交点的位置；若不存在，请说明理由.

21.已知函数，函数在处的切线与直线垂直．

（1）求实数的值；

（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；

（3）设是函数的两个极值点，若，求的最小值．

南洋模范2022学年第二学期高三年级数学开学考

2023.2

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.如果集合A满足，则满足条件的集合A的个数为______（填数字）.

【答案】3

【分析】根据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合A