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中考复习几何探究题

类型一非动点探究题

1.(2022安徽)已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE.

(1)如图①，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；

(2)如图②，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC.

(i)求∠CED的大小；

(ii)若AF＝AE，求证：BE＝CF.

2.(2022甘肃省卷)已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．

【建立模型】

(1)如图①，连接BE，DE.求证：BE＝DE；

【模型应用】

(2)如图②，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G.

①判断△FBG的形状并说明理由；

②若G为AB的中点，且AB＝4，求AF的长；

【模型迁移】

(3)如图③，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE＝BF.求证：GE＝(eq\r(2)－1)DE.

3.(2022苏州)(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.

①若DE＝1，BD＝eq\f(3,2)，求BC的长；

②试探究eq\f(AB,AD)－eq\f(BE,DE)是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；

(2)如图②，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF＝2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3.若S1·S3＝eq\f(9,16)Seq\o\al(2,2)，求cos∠CBD的值．

类型二动点探究题

4.(2022南充)如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上(不与点A重合)，OP＝eq\f(1,2)AB.

(1)判断△ABP的形状，并说明理由；

(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N.求证：PN＝AN；

(3)点Q在边AD上，AB＝5，AD＝4，DQ＝eq\f(8,5)，当∠CPQ＝90°时，求DM的长．

5.(2022温州)如图①，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3.点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足eq\f(AP,BQ)＝eq\f(5,4).设BQ＝x，CP＝y.

(1)求半圆O的半径；

(2)求y关于x的函数表达式；

(3)如图②，过点P作PR⊥CE于点R，连接PQ，RQ.

①当△PQR为直角三角形时，求x的值；

②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求eq\f(CF′,BF′)的值．

6.(2022铁岭葫芦岛)在?ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点(点P不与点D重合)，连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E.

(1)如图①，当点P为线段CD的中点时，请直接写出PA，PE的数量关系；

(2)如图②，当点P在线段CD上时，求证：DA＋eq\r(2)DP＝DE；

(3)点P在射线CD上运动，若AD＝3eq\r(2)，AP＝5，请直接写出线段BE的长．

7.(2022徐州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝12，点P在边AB上，D，E分别为BC，PC的中点，连接DE.过点E作BC的垂线，与BC，AC分别交于F，G两点．连接DG，交PC于点H.

(1)∠EDC的度数为________°；

(2)连接PG，求△APG的面积的最大值；

(3)PE与DG存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由；

(4)求eq\f(CH,CE)的最大值．

类型三平移探究题

8.(2021淄博)已知：在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l(垂足为点P)沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E.

(1)当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图①所示．求证：AE＝BF；

(2)当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图②所示．求∠AFQ的度数；

(3)直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图③所示．设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式．

9.(2020嘉兴)在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图①)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．

活动一：将图①中的纸片DEF沿AC方向平移，连