3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课题：

科目：

班级：

课时：计划1课时

教师：

单位：

一、教学内容

《3.2.1双曲线及其标准方程教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册》

本节课主要讲解人教A版选择性必修第一册第三章第二节第一课时的内容，即“3.2.1双曲线及其标准方程”。教学内容包括：

1.双曲线的定义和性质；

2.双曲线的焦点、准线、离心率等概念；

3.双曲线的标准方程及其推导过程；

4.双曲线的图像特点及与椭圆的比较；

5.双曲线在实际问题中的应用。

二、核心素养目标

1.通过探究双曲线的定义和性质，培养逻辑思维能力和空间想象能力。

2.在推导双曲线标准方程的过程中，发展数学推理和数学抽象素养。

3.通过解决实际问题，提升数学建模和数据分析能力。

4.在比较双曲线与椭圆的区别中，增强数学比较和批判性思维能力。

三、教学难点与重点

1.教学重点

本节课的教学重点是双曲线的定义、性质及其标准方程的推导。具体包括：

-双曲线的定义：学生需要理解双曲线是由平面内与两个定点（焦点）的距离差为常数的点的轨迹所形成的图形。

-双曲线的性质：包括双曲线的对称性、焦点、准线、离心率等概念，以及它们之间的关系。

-双曲线的标准方程推导：学生需要掌握通过解析法推导出双曲线的标准方程，如：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)。

2.教学难点

本节课的教学难点主要在于以下几个方面：

-双曲线的定义理解：学生可能难以理解“距离差”的概念，需要通过具体的实例（如通过几何画板软件演示）来帮助学生形象理解。

-离心率的概念：离心率是描述双曲线形状的重要参数，学生可能难以理解其几何意义，可以通过实际测量双曲线的焦点到中心的距离与实轴的比值来帮助学生理解。

-标准方程的推导：推导过程中涉及复杂的代数运算，学生可能会在推导过程中遇到困难。例如，在推导\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)时，需要学生能够灵活运用平方差公式和完全平方公式等代数技巧。

-双曲线图像与方程的关系：学生可能难以直观地将双曲线的图像与方程对应起来，可以通过绘制不同离心率的双曲线图像，让学生观察方程参数变化对图像的影响。

四、教学资源

-硬件资源：多媒体教学设备、计算机、投影仪

-软件资源：几何画板软件、数学公式编辑器

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：数学教学视频、在线习题库

-教学手段：板书、PPT演示、小组讨论、课堂练习

五、教学过程

一、导入新课

1.同学们，大家好！上一节课我们学习了椭圆及其标准方程，椭圆是一种非常重要的二次曲线。今天我们将学习另一种二次曲线——双曲线。请大家回忆一下，椭圆的定义是什么？

学生回答：椭圆是平面内到两个定点距离和为常数的点的轨迹。

2.非常好！那么双曲线的定义与椭圆有什么不同呢？这就是我们今天要探究的内容。

二、探究双曲线的定义与性质

1.请大家翻到课本第56页，阅读双曲线的定义。根据定义，双曲线是由平面内与两个定点（焦点）的距离差为常数的点的轨迹所形成的图形。我们来画一个简单的示意图，大家能找到焦点吗？

学生回答：是的，焦点是两个定点。

2.非常好！那么距离差为常数是什么意思呢？请大家拿出纸和笔，尝试画出一个双曲线的图形，并标出焦点。

学生操作：学生尝试画图。

3.同学们画得很好！现在请大家观察自己画的图形，可以发现双曲线有两个分支，每个分支都有一个焦点。那么，双曲线的焦点、准线、离心率分别是什么？

学生回答：焦点是两个定点，准线是与焦点等距离的直线，离心率是焦点到中心的距离与实轴的比值。

三、推导双曲线的标准方程

1.现在，我们来推导双曲线的标准方程。请大家打开几何画板软件，我们一起进行操作。

学生操作：学生在计算机上打开几何画板软件。

2.首先，我们设定两个焦点F1和F2，然后选取一个点P，使得|PF1-PF2|等于常数2a。接下来，我们尝试找出点P的轨迹。

学生操作：学生用几何画板软件操作，观察点P的轨迹。

3.通过观察，我们可以看到点P的轨迹是一个双曲线。现在，我们来推导这个双曲线的标准方程。假设点P的坐标为(x,y)，那么根据双曲线的定义，我们有：

|PF1-PF2|=2a

将点P的坐标代入，得到：

|√((x-x1)^2+(y-y1)^2)-√((x-x2)^2+(y-y2)^2)|=2a

其中，(x1,y1)和(x2,y2)分别是焦点F1和F2的坐标。

4.现在，我们来化简这