数学分析 课件 第15章.pptVIP

所以当时,级数的和为0;当时,有若令,则有例4把在内展开成:(i)正弦级数;(ii)余弦级数.解(i)为了把f展开为正弦级数,对f做奇式周期延拓(图15-11),并由公式(8)有当,时,级数收敛于0.当n≥1时,所以在开区间上在时,上式右边收敛于于是,在上f的傅里叶级数的图象如图15-4所示(注意它与图15-3的差别).例2将下列函数展开成傅里叶级数:解f及其周期延拓的图形如图15-5所示.显然f是按段光滑的,因此可以展开成傅里叶级数.在()中令,在上计算傅里叶系数如下:所以当时,当时,由于所以因此当或时,由于由(14)或(15)都可推得注上式提供了一个计算的方法.还可以找出其他展开式来计算,关键是收敛速度要快.例3在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示),反映的是一种复杂的周期运动,用傅里叶级数展开后,就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的简谐振动的叠加,在电工学中称为谐波分析.设是周期为的矩形波函数(图15-6),在上的表达式为求该矩形波函数的傅里叶展开式.解由于是奇函数,积分区间是对称区间,所以于是当时,当时,级数收敛到0(实际上级数每一项都为0).复习思考题设函数f在上可积,并且,这样的函数能否求出其傅里叶级数?§2以2l为周期的函数的展开式上节讨论了以2?为周期,或定义在上然后作2?周期延拓的函数的傅里叶展开式,本节讨论更有一般性的以2l为周期的函数的傅里叶展开式,以及偶函数和奇函数的傅里叶展开式.返回一、以2l为周期的函数的傅里叶级数二、偶函数与奇函数的傅里叶级数一、以2l为周期的函数的傅里叶级数设f是以2l为周期的函数,通过变量替换:若在上可积,则在上也可积,这时函数F的傅里叶级数展开式是:就可以将f变换成以为周期的关于变量t的函数其中(2)因为,所以于是由(1)与(2)式分别得与这里(4)式是以2l为周期的函数f的傅里叶系数,(3)式是f的傅里叶级数.若函数f在上按段光滑,则同样可由收敛定理知道例1将函数展开成傅里叶级数.里叶级数.根据(4)式,有代入(5)式,得这里当和±5时级数收敛于二、偶函数与奇函数的傅里叶级数的偶函数,则在上,是偶函数,是奇函数.因此,f的傅里叶系数(4)是设f是以2l为周期的偶函数,或是定义在上于是f的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即其中如(6)式所示(7)式右边的级数称为余弦级数.同理,若f是以2l为周期的奇函数,或是定义在上的奇函数,类似可推得所以当f是奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即其中如(8)式所示.(9)式右边的级数称为正弦级数.若,则偶函数f所展开成的余弦函数为其中当且f为奇函数时,则它展成的正弦级数为其中注如何将定义在上(或更一般地上)的函数展开成余弦级数或正弦级数?方法如下:首先将定义在上的函数作偶式延拓或奇式延拓到上(如图15-8(a)或(b)).然后求延拓后函数的傅里叶级数,即得(10)或(12)形式.图15-8也可以不作延拓直接使用公式(11)或(12),计算出它的傅里叶系数,从而得到余弦级数或正弦级数.例2设函数求f的傅里叶级数展开式.解f是上的偶函数,图15-9是这函数及其周期延拓的图形.由于f是按段光滑函数,因此可以展开成傅里叶级数,而且这个级数为余弦级数.由(10)式(这时可把其中“~”其中改为“”)知道所以当时,有由此可得解函数f如图15-10所示,它是按段光滑函数,因而可以展开成正弦级数(12),其系数例3求定义在上的函数(其中0h)的正弦展开式.15-10图********§1傅里叶级数一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利,但对函数的要求很高(无限次可导).如果函数没有这么好的性质,能否