3.1.2函数的表示法（七个重难点突破）（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）.docx

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3.1.2函数的表示法

一、图象法、列表法表示函数

五、分段函数求解析式或求值

二、待定系数法求解析式

六、已知分段函数的值求自变量

三、已知f（g（x））求解析式

七、解分段函数不等式

四、方程组求解析式

知识点1函数的表示法

函数的表示法

解析法

用数学表达式表示两个变量之间的对应关系

图象法

用图象表示两个变量之间的对应关系

列表法

列出表格来表示两个变量之间的对应关系

注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示

重难点一图象法、列表法表示函数

【例1】某学生从家中出发去学校，走了一段时间后，由于怕迟到，余下的路程就跑步方式前往学校.在下图中纵轴表示该学生离自己家的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

【答案】D

【详解】首先一开始离自己家的距离最小，则AB错误；

开始是走，所以在较短的时间内离家的距离增加的较慢，

而后是跑，所以离学校的距离增加的较快，

故C错误，D正确.

故选：D.

【例2】对于函数，部分与的对应关系如下表：

则值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由表格可得，，

所以.

故选：C.

【变式1-1】下列表示函数，则．

x

y

2

3

4

5

【答案】4

【详解】由表可知．

故答案为：4.

【变式1-2】已知函数分别由下表给出

4

5

6

2

3

2

1

2

3

5

4

2

则，．

【答案】22

【详解】因为：，，所以；

又，，所以.

故答案为：2；2

【变式1-3】作出下列函数的图象：

(1)（）；

(2)，．

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析

【详解】（1）

因为，所以图象为直线上的孤立点，其图象如图所示．

（2）

，

当或时，；

当时，，其图象如图所示．

重难点二待定系数法求解析式

【例3】已知一次函数满足，，求.

【答案】

【详解】依题意，设，

由条件得，解得，

故.

【例4】已知是二次函数，且，，则．

【答案】

【详解】设，

因为，可得，

又因为，可得，

即，所以,

解得，所以．

故答案为：.

【变式2-1】已知反比例函数的图象过点，则．

【答案】

【详解】设反比例函数，

由题意可得：，解得，

可得，所以.

故答案为：.

【变式2-2】已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为.

【答案】

【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为，

所以可设，

将代入，得，解得，

故.

故答案为：.

【变式2-3】如果为二次函数，，并且当时，取得最小值，求的解析式.

【答案】

【详解】因为为二次函数，并且当时，取得最小值，

所以可设，

又因为，所以，解得，

所以．

重难点三已知f（g（x））求解析式

【例5】已知，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】因为，且，

所以.

故选：A.

【例6】设函数，满足，则＝；函数的值域为．

【答案】

【详解】因为，

所以，

所以，解得，

即．

所以，

令，即,

所以，（）,

当时，，

即的值域为,

故答案为：；．

【变式3-1】已知函数，则（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】令，则，且，则，

可得，

所以.

故选：B.

【变式3-2】（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能为（????）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】设，则，

所以，解得或，

则或．

故选：AD.

【变式3-3】若函数，则.

【答案】

【详解】函数，又的值域为，

，

故答案为：.

重难点四方程组求解析式

【例7】已知函数满足，则.

【答案】

【详解】由①，

得②，

由①②得，则，

令，则，

所以，

故.

故答案为：.

【例8】已知，求的表达式

【答案】

【详解】在原式中用替换，得，

于是有，

消去，得．

∴所求函数的表达式为.

【变式4-1】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式.

【答案】

【详解】因为，把换成有：，

联立，解得.

故答案为：

【变式4-2】设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为．

【答案】

【详解】由①，

用代替可得②，

由①②可得.

故答案为：.

【变式4-3】函数满足，求函数的解析式.

【答案】

【详解】因为，

用替换上式中的，得，

解方程组得.

知识点2分段函数

1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应