培优07 解三角形中的最值范围（七大题型）（解析版）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练.docx

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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培优07解三角形中的最值范围

题型01求周长的最值范围

例1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由正弦定理及，可得，

所以，

所以，所以，因为，所以，

因为外接圆的半径为，所以，

又由余弦定理可得，

，当且仅当时取等号，所以，又，

所以的取值范围为.

故选：C.

例2．在中，角所对的边分别为，若，且，则周长的最大值为（????）

A． B． C．6 D．9

【答案】D

【详解】在中，由及正弦定理，

得，

而，

则，

而，整理得，

又，解得，

由余弦定理，得

，

解得，当且仅当时取等号，

所以周长的最大值为9.

故选：D

练习1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且，△ABC外接圆面积为则∠A=，△ABC周长的最大值为.

【答案】9

【详解】已知向量，

则，则，

所以，

则，所以，

又，故且，

所以，又，则；

由余弦定理有：，则，

由正弦定理可得：的外接圆半径为，则，即，

所以，

则，当且仅当且，即时等号成立，

故三角形周长的最大值为

故答案为：；

练习2．已知的内角，，的对边分别为，，，若．

(1)求的值；

(2)若的面积为，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）∵，

由正弦定理可得：，

由余弦定理知：，，

可得，

则有，由，解得.

（2）

中由余弦定理知，又在中有，

∴，化简得，

∵，∴.

又，由正弦定理得：，，

，

因在中，，，，

所以，当时，等号成立，

∴周长的取值范围是．

练习3．已知的内角所对的边分别是.

(1)求角；

(2)若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，

化简可得，由余弦定理得，

因为为三角形内角，B∈0,π，所以.

（2）因为的外接圆面积为，故其外接圆半径为，

因为，所以由正弦定理可得

故，

所以

，

因为为锐角三角形，则，

，

即的周长的取值范围为.

练习4．已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，.

(1)求角A；

(2)若，求的值；

(3)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)1

(3)

【详解】（1），故，

因为，所以，

故，解得；

（2）由余弦定理得，

又，，所以，

故，所以，

故，；

（3）由正弦定理得，为外接圆半径，

故，

又，故，

因为，故，

故，

又，

则

，

因为，所以，故，

.

题型02求面积的最值范围

例3．已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为

【答案】12

【详解】设，，则对，由正弦定理可得①，

对，由正弦定理可得②，

又，所以，又，

联立①②式可得，则，

则，

对，由余弦定理可得，

则

，

当时，有最大值，，所以.

故答案为：12

例4．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在中，角所对的边分别为，则的面积．若，且，则面积的最大值为．

【答案】

【详解】，故，

即，代入得：，

故

，

当且仅当，时，等号成立.

故答案为：

练习1．在中，内角所对的边分别为，且．

(1)求；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【详解】（1）解：因为，

由余弦定理可得，

由正弦定理可得，所以，

又因为，所以．

（2）解：因为且，由余弦定理得，即

又因为，当且仅当时，等号成立，

即，解得，

所以的面积，

即面积的最大值为．

练习2．的内角的对边分别为，已知

(1)求；

(2)若点在上，且满足，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1），

由正弦定理得，

，

，

，

，

，

，

，

.

（2），

，

，

又，

，

，

，当且仅当时，等号成立，

的面积，

即面积的最大值为.

??

练习3．在中，内角所对的边分别是，已知向量，满足.

(1)求；

(2)若角的平分线交边于点，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）

，

，即，

，

，

，

，

.

（2），

，

，

,

，即，

，则，当且仅当时取等号，

即面积的最小值为.

练习4．已知向量，设函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)已知在中，内角的对边分别为，若，且，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)1

【详解】（1），

，

当时，，

，

所以函数的值域为

（2）由（1）可知，

又，所以，

因为，所以，故，

因为，由可知，，

由基本不等式得，

解得，当且仅当时，等号成立，

故三角形面积，

即面积最大值为.

题型03求角度的最值范围

例5．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满