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高中数学导数中对数单身狗指数找基友的应用

导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数

的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数．而

这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手．

考点一对数单身狗

【方法总结】

f(x)

在证明或处理含对数函数的不等式时，如f(x)为可导函数，则有(f(x)lnx)′＝f′(x)lnx＋，

x

若f(x)为非常数函数，求导式子中含有lnx，这类问题需要多次求导，烦琐复杂．通常要将

对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求

出它的极值点，从而避免了多次求导．这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们

形象的称之为“对数单身狗”．

g(x)g(x)1g(x)

1．设f(x)0，f(x)lnx＋g(x)0lnx＋0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，

f(x)f(x)xf(x)

g(x)

求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)0f(x)(lnx＋)0，即将前面部分提出，就留下lnx这

f(x)

个单身狗，然后研究剩余部分．

g(x)g(x)1g(x)

2．设f(x)≠0，f(x)lnx＋g(x)＝0lnx＋＝0，则(lnx＋)′＝＋()′，不含超越函数，

f(x)f(x)xf(x)

g(x)

求解过程简单．或者f(x)lnx＋g(x)＝0f(x)(lnx＋)＝0，即将前面部分提出，就留下lnx

f(x)

这个单身狗，然后研究剩余部分．

【例题选讲】

[例1](2016·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．

(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．

alnxb

[例2]已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0．

x＋1x

(1)求a，b的值；

lnx

(2)证明：当x＞0，且x≠1时，f(x)＞．

x－1

【对点精练】

1．若不等式xlnx≥a(x－1))对所x≥1有都成立，求实数a的取值范围．

2

2．(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax－ax－xlnx，且f(x)≥0．

(1)求a；

－2－2

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x，且