高中数学 单变量含参不等式证明方法之合理消参(教师版).pdfVIP

高中数学单变量含参不等式证明方法之合理消参

【例题选讲】

x

[例1](2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ae－lnx－1．

(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

1

(2)证明：当a≥时，f(x)≥0．

e

11

x

解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ae－．由题设知，f′(2)＝0，所以a＝．

x2e2

111

xx

从而f(x)＝e－lnx－1，f′(x)＝e－．当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0．

2e22e2x

所以f(x)在(0，2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．

1exexex1

(2)证明：当a≥时，f(x)≥－lnx－1．设g(x)＝－lnx－1，则g′(x)＝－．

eeeex

当0＜x＜1时，g′(x)＜0；当x＞1时，g′(x)＞0．所以x＝1是g(x)的最小值点．

1

故当x＞0时，g(x)≥g(1)＝0．因此，当a≥时，f(x)≥0．

e

x

[例2]设a为实数，函数f(x)＝e－2x＋2a，x∈R．

(1)求f(x)的单调区间与极值；

x2

(2)求证：当aln2－1且x0时，ex－2ax＋1．

xx

解析(1)由f(x)＝e－2x＋2a(x∈R)，知f′(x)＝e－2．令f′(x)＝0，得x＝ln2．

当xln2时，f′(x)0，故函数f(x)在区间(－∞，ln2)上单调递减；

当xln2时，f′(x)0，故函数f(x)在区间(ln2，＋∞)上单调递增．

所以f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，

f(x)在x＝ln2处取得极小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2－2ln2＋2a，无极大值．

x2x2

(2)证明：要证当aln2－1且x0时，ex－2ax＋1，即证当aln2－1且x0时，e－x＋2ax－10．

x2x

设g(x)＝e－x＋2ax－1(x≥0)．则g′(x)＝e－2x＋2a，

由(1)知g′(x)min＝g′(ln2