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高中数学单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转

一、凹函数、凸函数的几何特征

二、凹凸反转

很多时候，我们需要证明f(x)＞0，但不代表就要证明f(x)min＞0，因为大多数情况下，f′(x)

的零点是解不出来的．当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐

零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转．如要证明f(x)＞0，可把f(x)

拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)＞h(x)，只要证明了g(x)min＞h(x)

max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立．很明显，g(x)是凹函数，

h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转．凹凸反转与隐零点

都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充．

凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式

函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要

考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项

式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两

个函数的最值并进行比较．当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合

的函数的图象与最值．

三、六大经典超越函数的图象和性质

1．x与ex的组合函数的图象与性质

x

函ex

数f(x)＝xexf(x)＝xf(x)＝ex

图

象

定

义R(－∞，0)(0，＋∞)R

域

值11

－，＋∞(－∞，0)[(e，＋∞)(－∞，]

域ee

单

在(－∞，－1)上递减在(－∞，0)，(0，1)上递减在(－∞，1)上递增

调

在(－1，＋∞)上递增在(1，＋∞)上递增在(1，＋∞)上递减

性

最111

f(x)min＝f(－1)＝－当x＞0时，f(x)min＝f(1)＝f(x)max＝f(1)＝

值eee

2．x与lnx的组合函数的图象与性质

函lnxx

f(x)＝xlnxf(x)＝f(x)＝

数xlnx

图

象

定

义(0，＋∞)(0，＋∞)