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平面向量知识点总结(精华)

一、平面向量的基本概念

1.向量的定义

向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如\(\vec{a}\)。向量的大小称为模，记为\(|\vec{a}|\)或\(\vec{a}\)的长度；向量的方向是从起点指向终点的方向。

2.向量的表示

向量可以用坐标表示，设向量\(\vec{a}\)的起点为\(O\)，终点为\(A\)，则\(\vec{a}\)可以表示为\(\vec{OA}\)。在平面直角坐标系中，向量\(\vec{a}\)可以表示为\(\vec{a}=(x,y)\)，其中\(x\)和\(y\)分别是向量在\(x\)轴和\(y\)轴上的分量。

3.向量的运算

（1）向量的加法：两个向量相加，是将它们的坐标分别相加。即\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。

（2）向量的减法：两个向量相减，是将它们的坐标分别相减。即\(\vec{a}\vec{b}=(x_1x_2,y_1y_2)\)。

（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数，是将向量的坐标分别乘以这个实数。即\(k\vec{a}=(kx_1,ky_1)\)。

（4）向量的点乘：两个向量的点乘，是将它们的坐标分别相乘后求和。即\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。

（5）向量的叉乘：两个向量的叉乘，是将它们的坐标分别相乘后求差。即\(\vec{a}\times\vec{b}=x_1y_2x_2y_1\)。

二、平面向量的数量积

1.数量积的定义

数量积又称点积，是两个向量的乘积，其结果是一个实数。数量积的定义为：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\theta\)，其中\(\theta\)是两个向量的夹角。

2.数量积的性质

（1）交换律：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)。

（2）分配律：\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)。

（3）数乘的结合律：\(k(\vec{a}\cdot\vec{b})=(\vec{a}\cdotk\vec{b})=(\vec{a}\cdot\vec{b})k\)。

3.数量积的应用

（1）求两个向量的夹角：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)。

（2）求向量的模：\(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)。

（3）判断两个向量的垂直：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)。

三、平面向量的向量积

1.向量积的定义

向量积又称叉积，是两个向量的乘积，其结果是一个向量。向量积的定义为：\(\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta\cdot\vec{n}\)，其中\(\theta\)是两个向量的夹角，\(\vec{n}\)是与\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)共面的单位向量。

2.向量积的性质

（1）反交换律：\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{b}\times\vec{a}\)。

（2）分配律：\(\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\)。

（3）数乘的结合律：\(k(\vec{a}\times\vec{b})=(\vec{a}\timesk\vec{b})=(\vec{a}\times\vec{b})k\)。

3.向量积的应用

（1）求两个向量的夹角：\(\sin\theta=\frac{|\vec{a}\times\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)。

（2）求向量的模：\(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta\)。

（3）判断两个向量的平行：\(\vec{a}\ti