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考研数学一（线性代数）-试卷3

(总分：58.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：8，分数：16.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

解析：

2.设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为()

（分数：2.00）

?A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表出

?B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表出

?C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价

?D.矩阵A=[α1，α2，…，αm]与矩阵B=[β1，β2，…，βm]等价?√

解析：解析：A=[α1，α2，…，αm]，β=[β1，β2，…，βn]等价r(α1，αm)=r(β1，…，βm)β1，β2，…，βm线性无关(已知α1，α2，…，αm线性无关时)．

3.要使都是线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵A为()

（分数：2.00）

?A.?√

?B.

?C.

?D.

解析：解析：因[2，1，1]ξ1=0，[-2，1，1]ξ2=0．

4.齐次线性方程组的系数矩阵为A，若存在3阶矩阵B≠O，使得AB=O，则()

（分数：2.00）

?A.λ=-2且｜B｜=0

?B.λ=-2且｜B｜≠0

?C.λ=1且｜B｜=0?√

?D.λ=1且｜B｜≠0

解析：解析：B≠O，AB=O，故AX=0有非零解，｜A｜=0，又A≠O，故B不可逆，故λ=1，且｜B｜=0．

5.齐次线性方程组的系数矩阵A4×5=[β1，β2，β3，β4，β5]经过初等行变换化成阶梯形矩阵为则()

（分数：2.00）

?A.β1不能由β3，β4，β5线性表出

?B.β2不能由β1，β3，β5线性表出

?C.β3不能由β1，β2，β5线性表出

?D.β4不能由β1，β2，β3线性表出?√

解析：解析：βi能否由其他向量线性表出，只须将βi视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可．由阶梯形矩阵知，β4不能由β1，β2，β3线性表出．

6.设A为m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分条件是()

（分数：2.00）

?A.A的列向量线性无关?√

?B.A的列向量线性相关

?C.A的行向量线性无关

?D.A的行向量线性相关

解析：解析：A的列向量线性无关AX=0唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件．

7.设A为n阶实矩阵，则对线性方程组(Ⅰ)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()

（分数：2.00）

?A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解?√

?B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解

?C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解

?D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解

解析：解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程组．

8.已知β1，β2是AX=b的两个不同的解，α1，α2是相应的齐次方程组AX=0的基础解系，k1，k2是任意常数，则AX=b的通解是()

（分数：2.00）

?A.

?B.?√

?C.

?D.

解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解α1与β1-β2是否线性无关未知，而(B)中因α1，α2是基础解系，故α1，α1-α2仍是基础解系，仍是特解．

二、填空题(总题数：5，分数：10.00)

9.方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是1

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：ξ1=[1，-1，0，0，0]T，ξ2=[1，0，-1，0，0]T，ξ3=[1，0，0，-1，0]T，ξ4=[1，0，0，0，-1]T）

解析：

10.方程组的通解是1

（分数：2.00）

填空项1:__________________?（正确答案：正确答案：k[1，1，1，1