数学分析（4版）-华东师范大学第10章定积分的应用.pptVIP

即从而平面曲线的弧长因此当f在[a,b]上连续可微时,则C又可看作注1若曲线C由直角坐标方程则C亦可看作注2若曲线C由极坐标方程表示,示,平面曲线的弧长由于平面曲线的弧长解例1a平面曲线的弧长例2解解段弧长.例3平面曲线的弧长在光滑曲线上,弧段与的长度相差不*平面曲线的曲率曲率是刻画曲线的弯曲程度的一个概念.如图所示,多而弯曲程度却很不一样.转过的角度要大得多.比动点从Q移到R时切线.到Q时,切线转过的角度这反映动点沿曲线从P移*平面曲线的曲率设表示曲线在点处切线的倾角,表示动点由P沿曲线移至时切线倾角的增量.之长为,则称为弧段的平均曲率.若如果存在有限极限则称此极限K为曲线C在点P的曲率.*平面曲线的曲率可得*平面曲线的曲率即若曲线由表示,则由于曲线光滑,故总有例1求椭圆上曲率解由于最大和最小的点.*平面曲线的曲率因此椭圆在各点的曲率为处曲率最小,当时,在处曲率最大,在显然,直线上各点处的曲率为0.设曲线上一点P处曲率的圆,使它在点P处与曲线有相同的切线,并在P近旁与曲线位于切线的同侧(见图).在P处的曲率圆.曲率圆的圆心称为曲率中心.的半径称为曲率半径,我们把这个圆称为曲线若过P作一个半径为曲率圆*平面曲线的曲率由例1可得,若则各点处曲率相等,为火车轨道从直道进入半径为R的(使火车的向心加速度以保证火车行驶安全使得曲率由零连续地变到圆形弯道时,例2如图所示,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示),*平面曲线的曲率缓冲曲线常采用三次曲线.对此曲线用曲率公式求得:*平面曲线的曲率因此曲线段的曲率从0渐渐增加到接近于从而起到缓冲作用.定积分的所有应用问题,都可按“分割、近似、求极限”三个步骤导出所求量的积分形式,但在实际应用中又常用“微元法”来处理.本节将介绍微元法,并用以导出旋转曲面面积的计算公式.§4旋转曲面的面积数学分析第十章定积分的应用一、微元法二、旋转曲面的面积*点击以上标题可直接前往对应内容,且当上的连续函数时，若令微元法现在恰好要把问题倒过来:若所求量是分布在区或者说它是该区间的端点x的函数,即则后退前进目录退出微元法当时,而且当x=b时,适为最终所求的值.那么只要把计算出来,就是该问题所微小增量近似表示为的线性形式在任意小区间上,若能把的其中f为某一连续函数,求的结果.微元法以上方法通常称为微元法,在用微元法时,应注意:在一般情况下,要严格检验(2)微元法的关键是正确给出的近似表达式为的高阶无穷小量不是一件容易的事.(1)所求量关于分布区间必须是可加的.微元法这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面(如下图).设平面光滑曲线C的方程为旋转曲面的面积通过x轴上点x与分别作垂直于x轴的平旋转曲面的面积面,它们在旋转曲面上截下一条狭带.其中由于时,此狭带的面积近似于一圆台的侧面积,当很小旋转曲面的面积即因此由的连续性可以保证所以得到旋转曲面的面积给出,且则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为如果光滑曲线由参数方程例1求将椭圆绕x轴旋转所得椭球面的面积.解将上半椭圆写成参数方程旋转曲面的面积令旋转曲面的面积例2求心脏线绕极轴旋转所得曲面的面积.当然，这也可从上面已求得的椭球面的面积而得,解将曲线用参数方程表示:请读者自行指出这应该怎么做？旋转曲面的面积于是例4解所围图形的面积.有当a=b时得圆面积公式求椭圆利用对称性,参数方程表示的平面图形的面积极坐标表示的平面图形的面积由曲线C极坐标表示的平面图形的面积设从而由于因此极坐标表示的平面图形的面积例5解极坐标表示