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数学分析第十九章

含参量积分§1含参量正常积分

对多元函数其中

的一个自变量进行积分一、含参量正常积分的定义

形成的函数称为含参量二、含参量正常积分的连续性

积分,它可用来构造新三、含参量正常积分的可微性

的非初等函数.含参量四、含参量正常积分的可积性

积分包含正常积分和非

五、例题

正常积分两种形式.*点击以上标题可直接前往对应内容

§1含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

含参量正常积分的定义

设f(x,y)是定义在矩形区域R[a,b][c,d]上的

二元函数.当x取[a,b]上的定值时,函数f(x,y)是

定义在[c,d]上以y为自变量的一元函数.倘若这时

f(x,y)在[c,d]上可积,则其积分值

d

(x)f(x,y)dy,x[a,b](1)

c

是定义在[a,b]上的函数.

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数学分析第十九章含参量积分

高等教育出版社

§1含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

一般地,设f(x,y)为定义在区域

G{(x,y)|c(x)yd(x),axb}

上的二元函数其中

,c(x),d(x)yyd(x)

为定义在[a,b]上的连续函数

,G

若对于[a,b]上每一固定的x值,

yc(x)

f(x,y)作为y的函数在闭区间

Oabx

图

[c(x),d(x)]上可积,则其积分值191

d(x)

F(x)f(x,y)dy,x[a,b](2)

c(x)

是定义在[a,b]上的函数.

数学分析第十九章含参量积分

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§1含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

用积分形式(1)和(2)所定义的这函数I(x)与F(x)

通称为定义在[a,b]上的含参量x的(正常)积分,

或简称为含参量积分.

数学分析第十九章含参量积分

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§1含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

含参量正常积分的连续性

定理19.1(x（)的连续性）

若二元函数f(x,y)在矩形区域R[a,b][c,d]

上连续,则函数

d

(x)f(x,y)dy

c

在[a,b]上连续.

数学分析第十九章含参量积分

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§1含参量正常积分定义连续性可微性可积性例题

证设x[a,b],对充分小的x,有xx[a,b]

(若x为区间的端点,则仅考虑x0或x0),

d

于是(xx)(x)[f(xx,y)f(x,y)]dy,(3)

c

由于f(x,y)在有界闭区域R上连续,从而一致连续.

即对任意0,总存在0,对R内任意两