《自动控制原理（本）》 课件 第三章 线性系统的稳定性和稳态特性分析.pptx

第三章线性系统的稳定性和稳态特性分析主编：张慧妍组编：全国高等教育自学考试指导委员会

3.2控制系统的稳定性分析3.3劳斯稳定判据3.4控制系统的稳态误差分析3.5MATLAB在线性系统稳定性及稳态性能分析中的应用CONTENTS目录3.1典型输入信号

3.1典型输入信号１.阶跃函数A=1时，为单位阶跃函数

２．斜坡函数０，t0At，t≥0A=1时，为单位斜坡函数。斜坡函数对时间的导数就是阶跃函数。

§３－１典型的输入信号3.加速度函数时，称为单位抛物线函数，这时在分析随动系统时常用斜坡函数和加速度函数。

§３－１典型的输入信号４.脉冲函数０tt0，t

５．正弦函数系统对不同频率的正弦输入的稳态响应称为频率响应，在第五章将专门讨论。

3.2控制系统的稳定性分析设系统处于某一平衡状态，若此系统在干扰作用下离开了原来的平衡状态，那么，在扰动消失后，系统能否回到原来的平衡状态，这就是系统的稳定性问题。上述系统在干扰作用消失后，能够恢复到原始的平衡状态，或者说系统的零输入响应具有收敛性质，则系统为稳定的。

由此可得到线性系统稳定的充分必要条件:系统特征方程的所有根（系统的所有闭环极点），均位于复数s平面的左半部．

线性系统稳定与否，取决于特征根的实部是否均为负值（复数s平面的左半部）．但是求解高阶系统的特征方程是相当困难的．而劳斯判据，避免解特征方程，只需对特征方程的系数进行代数运算，就可以判断系统的稳定性，因此这种数据又称为代数稳定判据．１．劳斯判据将系统的特征方程写成如下标准形式并将各系数排列成劳斯表3.3劳斯稳定判据

01表中的有关系数为一直进行到求得的b值全部等于零为止。这一计算过程一直进行到与对应的一行为止。 为了简化数值运算，可以用一个正整数去除或乘某一行的各项，并不改变结论的性质。

劳斯稳定判据：系统稳定要求系统的全部极点均位于复数平面的左半部的充分必要条件是特征方程的各项系数全部为正值，且劳斯表的第一列元素均为正数。若劳斯表中第一列元素出现小于零的值则系统不稳定，且第一列各系数符号改变的次数就是系统具有正实部极点的个数，也就是系统在复数平面右半部极点的个数。计算过程中为了简化数值计算量，可以用一个正数去乘或除某一行的各项，不会改变稳定性结论。

实际应用中，运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性，有时在列出劳斯表后，会出现以下两种特殊情况。（1）某行第一列的系数为零，该行其余各项中某些项不等于零。 在这种情况下，可以用一个很小的正数来代替零值项，然后按通常的方法计算劳斯表中其余各项。如果上面一行的系数符号与下面一行的系数符号相反，表明有一个符号变化。例3.1已知系统的特征方程如下：列劳斯表为可见，第一列各项数值的符号改变了两次。按劳斯稳定判据，该系统有两个极点具有正实部，系统是不稳定的．

（２）某行所有系数均为零的情况如果出现这种情况，则表明系统存在一些大小相等且对称于原点的根。可用下述方法处理． 第一步：取元素全为零的前一行，以其系数组成辅助方程，式中的Ｓ均为偶次．（∵根是对称出现的） 第二步：求辅助方程对s的导数，以其系数代替全为零值的一行， 第三步：用通常的方法继续求下面各行的系数，并判断稳定性． 第四步：解辅导方程，得各对称根．例3.2已知系统的特征方程试判别其稳定性。

解：分析可知特征方程的系数均大于0。列劳斯表辅助方程存在的特殊根可以通过辅助方程求出

3.4控制系统的稳态误差分析稳态误差：在给定参考输入或外来扰动加入稳定的系统后，经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道的情况下(tts),系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。误差带

下面要讨论系统跟踪输入信号的精确度或抑制干扰信号的能力． 这里讨论的稳态误差仅限于由系统结构、参数及输入信号的不同而导致的稳态误差，不包含由于具体元件的灵敏性、温湿度影响所带来的误差问题。控制系统的输入包含给定输入和扰动量，对应的控制系统的稳态误差也分为两类：给定稳态误差扰动稳态误差

系统的开环传递函数系统的给定误差传递函数表明系统的给定稳态误差与控制系统的结构、参数特性以及给定输入信号的性质有关。系统的稳态误差

例3.3已知系统结构图，当输入信号为单位阶跃函数时，试求系统的给定稳态误差。系统的闭环特征方程为由劳斯表可知，系统的稳定条件为系统给定误差传递函数为

一般情况下，控制系统的开环传递函数可以表示为式中为开环增益，为开环系统中串联积分环节