2025年高考数学总复习 12 第二章 第五节 指数与指数函数.docx

第五节指数与指数函数

考试要求：1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．

2．通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．

3．能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

自查自测

知识点一指数

1．(教材改编题)设a0，则下列运算中正确的是(D)

A．a43a

C．a23a－23

2．设a＞0，将a2a·3

A．a12 B

C．a76 D

3．计算：π0+2－

核心回扣

1.根式的性质

(1)nan＝a(a使n

(2)当n是奇数时，nan＝a；当n是偶数时，nan＝|

2.分数指数幂的意义

1amn＝(a0，m，n∈N*，

2a－mn＝1amn＝1nam

(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

3．有理数指数幂的运算性质

(1)ar·as＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；

(2)(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

(3)(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

自查自测

知识点二指数函数

1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．

(1)函数y＝3·2x与y＝2x+1都不是指数函数．(√)

(2)若aman(a0，且a≠1)，则mn.(×)

(3)函数y＝2－x在R上为减函数．(√)

(4)函数y＝ax2＋1(a1)的值域是(0，＋∞)．(×)

2．(教材改编题)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数图象也必定经过点(D)

A．－2，14

C．(1，2) D．3

3．函数y＝2x+1的图象是(A)

4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则(B)

A．abc B．bac

C．cba D．acb

核心回扣

1.指数函数的定义

一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

2．指数函数的图象与性质

项目

0a1

a1

图象

定义域

R

值域

(0，＋∞)

性质

过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1

当x0时，y1；当x0时，0y1

当x0时，y1；当x0时，0y1

减函数

增函数

注意点：

(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点(0，1)，(1，a)，－1

(2)指数函数y＝ax与y＝1ax的图象关于y

(3)当a＞1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0＜a＜1时，指数函数的图象呈下降趋势．

简记：撇增捺减．

【常用结论】

(1)任意两个指数函数的图象都是相交的，都过定点(0，1)；底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．

(2)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0cd1ab.

应用已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的大致图象为(

ABCD

指数幂的化简与求值

1．若实数a0，则下列等式成立的是()

A．(－2)-2＝4 B．2a-3＝1

C．(－2)0＝－1 D．a－14

D解析：(－2)-2＝14，故A错误；2a-3＝2a3，故B错误；(－2)0＝1，故C错误；a－14

2．若x12+x－12

13解析：由x12+x－12＝3，两边平方，得x＋x-1＝7，再平方得x2＋x-2＝47，所以x2＋x-2－2＝45.因为x32+x－32＝x123

3．化简下列各式：

12350+2－2

25

3a

解：(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋14×23－1

(2)原式＝－52a－16b-3÷(4a23·b-3)12＝－54·a－16b-3÷(a13b

(3)原式＝a－

指数幂运算的注意点

(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定结果的符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

指数函数的图象及应用

【例1】(1)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()

A解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D．又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C．

(2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________．

(0，1)解析：作出函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1)．

[变式]将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求