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§1平面点集与多元函数
多元函数是一元函数的推广,它保留着一
元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而
产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其
要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元
函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.
一、平面点集
二、R2上的完备性定理
三、二元函数
四、n元函数
一、平面点集
※平面点集的一些基本概念由于二元函数的定
义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数
之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.
在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数
对(x,y)与平面上所有点之间建立起了一一对应.
坐标平面上满足某种条件P的点的集合,称为平
面点集,记作
E(x,y)(x,y)满足条件P.
例如：
(i)全平面:
R2(x,y)|x,y.(1)
(ii)圆:C(x,y)x2y2r2.(2)
(iii)矩形:S(x,y)axb,cyd,(3)
也常记作：S[a,b][c,d].
点的邻域
(iv)A(x0,y0):
222圆形
(x,y)(xx0)(yy0)()
与方形.
(x,y)|xx0|,|yy0|()
y
y
d
CS
Orx
Oabx
c
(a)圆C(b)矩形S
图16–1
yy
A
A
OxOx
(a)圆邻域(b)方邻域
图16–2
由于点A的任意圆邻域可以包含在点A的某一
方邻域之内(反之亦然),因此通常用“点A的
邻
域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,
并
用记号U(A;)或U(A)来表示.
点A的空心邻域是指:
222圆
(x,y)0(xx0)(yy0)()
或
方
(x,y)|xx0|,|yy0|,(x,y)(x0,y0)(),
并用记号U(A;)(或U(A))来表示.
注意:不要把上面的空心方邻域错写成:(请指出
错在何处?)
(x,y)0|xx0|,0|yy0|.
※点和点集之间的关系
22
任意一点AR与任意一个点集ER之间必有
以下三种关系之一:
(i)内点——若0,使U(A;)E,则称点A
是E的内点;由E的全体内点所构成的集合称为
E的内部,记作intE.
(ii)外点——若0,使U(A;
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