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2023届安徽省合肥三十五中高三第三次模拟考试(5月)数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2.设等差数列的前项和为,若,,则()
A.21 B.22 C.11 D.12
3.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()
A. B.
C. D.
4.已知集合,则等于()
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示,则的单调递增区间为()
A. B.
C. D.
6.设全集,集合,,则集合()
A. B. C. D.
7.已知等边△ABC内接于圆:x2+y2=1,且P是圆τ上一点,则的最大值是()
A. B.1 C. D.2
8.关于函数,有下列三个结论:①是的一个周期;②在上单调递增;③的值域为.则上述结论中,正确的个数为()
A. B. C. D.
9.集合的真子集的个数是()
A. B. C. D.
10.等比数列的前项和为,若,,,,则()
A. B. C. D.
11.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是()
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在上的偶函数,当时,,则,,的大小关系为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.
14.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250,400)内的学生共有____人.
15.已知函数,则下列结论中正确的是_________.①是周期函数;②的对称轴方程为,;③在区间上为增函数;④方程在区间有6个根.
16.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,内角的对边分别为,且
(1)求;
(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.
18.(12分)为了拓展城市的旅游业,实现不同市区间的物资交流,政府决定在市与市之间建一条直达公路,中间设有至少8个的偶数个十字路口,记为,现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树,且种植每种树木的概率均为.
(1)现征求两市居民的种植意见,看看哪一种植物更受欢迎,得到的数据如下所示:
A市居民
B市居民
喜欢杨树
300
200
喜欢木棉树
250
250
是否有的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性;
(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口,恰有个路口种植杨树,求的分布列以及数学期望;
(3)在所有的路口种植完成后,选取3个种植同一种树的路口,记总的选取方法数为,求证:.
附:
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
19.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
20.(12分)如图,在四棱锥中,侧面为等边三角形,且垂直于底面,,分别是的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)已知点在棱上且,求直线与平面所成角的余弦值.
21.(12分)已知函数的导函数的两个零点为和.
(1)求的单调区间;
(2)若的极小值为,求在区间上的最大值.
22.(10分)已知函数,.
(Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在上的最小值;
(Ⅲ)若函数,当时,的最大值为,求证:.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.
【详解】
设函数解析式为
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