2024届北京市北京大学附属中学高三适应性练习数学试题.doc

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2023届北京市北京大学附属中学高三适应性练习数学试题

请考生注意:

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量,,且与的夹角为,则x=()

A.-2 B.2 C.1 D.-1

2.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()

A. B. C. D.

3.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

A.240,18 B.200,20

C.240,20 D.200,18

4.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示,设为坐标原点,、、、四点的横坐标依次为、、、,则函数的单调递减区间是()

A. B. C. D.

5.已知复数,其中为虚数单位,则()

A. B. C.2 D.

6.世纪产生了著名的“”猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半;如果是奇数,则将它乘加,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图,若输入正整数的值为,则输出的的值是()

A. B. C. D.

7.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()

A. B. C. D.

8.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则()

A.1 B. C.2 D.

9.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为()

A. B. C. D.

10.若a>b>0,0<c<1,则

A.logac<logbc B.logca<logcb C.ac<bc D.ca>cb

11.已知复数z满足(i为虚数单位),则在复平面内复数z对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

12.已知复数,则对应的点在复平面内位于()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知实数,满足,则的最大值为______.

14.已知数列递增的等比数列,若,,则______.

15.有以下四个命题:①在中,的充要条件是;②函数在区间上存在零点的充要条件是;③对于函数,若,则必不是奇函数;④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.

16.在面积为的中,,若点是的中点,点满足,则的最大值是______.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是的中点,平面,且,.

()求与平面所成角的正弦.

()求二面角的余弦值.

18.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.

19.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.

(1)求.

(2)设,求数列的前项和.

20.(12分)分别为的内角的对边.已知.

(1)若,求;

(2)已知,当的面积取得最大值时,求的周长.

21.(12分)已知椭圆的中心在坐标原点,其短半轴长为,一个焦点坐标为,点在椭圆上,点在直线上的点,且.

证明:直线与圆相切;

求面积的最小值.

22.(10分)在中,角所对的边分别是,且.

(1)求角的大小;

(2)若,求边长.

参考答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题意,代入解方程即可得解.

【详解】

由题意,

所以,且,解得.

故选:B.

【点睛】

本题考查了利用向量的数量积求向量的夹角,属于基础题.

2.C

【解析】

由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解

【详解】

先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,

故选:C

【点睛】

本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题

3.A

【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量,利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数.

【详解】

样本容量为:(150+250+400)×30%=240,

∴抽取的户主对四居室满意的人数为:

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