4.1向量的内积课件.pptVIP

上页下页返回第4章矩阵的特征值工程技术中的一些问题?如振动问题和稳定性问题?以及一些离散的动态系统问题（可以参阅§4.5）可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题?数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题?也都要用到特征值的理论?与矩阵之间的等价关系类似，我们要讨论矩阵之间的相似关系以及把一个方阵化为对角阵的问题．§4.1向量的内积、长度及正交性§4.2方阵的特征值与特征向量§4.3相似矩阵§4.4实对称矩阵的对角化第4章习题课第4章矩阵的特征值§4.1向量的内积、长度及正交性本节主要先介绍一些预备知识：其中涉及向量的内积、长度及正交等知识?一、内积的定义及性质二、向量的长度与夹角三、正交性问题3维向量的数量积、长度、夹角3维向量x?y的数量积x·y?|x||y|cosθ.在空间直角坐标系中,设3维向量x?(x1?x2?x3)T?y?(y1?y2?y3)T?则x·y?x1y1?x2y2?x3y3.复习回顾xy）θF）θs向量的内积设有n维向量x?(x1?x2?????xn)T?y?(y1?y2?????yn)T?令[x?y]?x1y1?x2y2?????xnyn?[x?y]称为向量x与y的内积?说明?(1)内积是两个向量之间的一种运算?其结果是一个实数?用矩阵记号表示?当x与y都是列向量时?有[x?y]?xTy?(2)n维向量的内积是3维向量数量积的一种推广．一、内积的定义及性质内积的性质(简单了解)设x?y?z为n维向量??为实数?则(1)[x?y]?[y?x]?（对称性）(2)[?x?y]??[x?y]?（齐次性）(3)[x?y?z]?[x?z]?[y?z]?（可加性）(4)当x?0时?[x?x]?0?当x?0时?[x?x]?0?（非负性）(5)[x?y]2?[x?x][y?y]?（施瓦茨不等式）向量的内积设有n维向量x?(x1?x2?????xn)T?y?(y1?y2?????yn)T?令[x?y]?x1y1?x2y2?????xnyn?[x?y]称为向量x与y的内积，其矩阵记号表示[x?y]?xTy.一、内积的定义及性质向量的长度令||x||称为n维向量x的长度(或范数)?向量的长度的性质(简单了解)设x?y为n维向量??为实数?则(1)非负性?当x?0时?||x||?0?当x?0时?||x||?0?(2)齐次性?||?x||?|?|||x||?(3)三角不等式?||x?y||?||x||?||y||?二、向量的长度与夹角注:(1)||x||=1,称x为单位向量?(2)非零向量α单位化(规范化):向量间的夹角二、向量的长度与夹角称为n维向量x与y的夹角?对于n维向量x，y，当x?0?y?0时?对于3维向量x，y，向量间的夹角当[x?y]?0时?称向量x与y垂直或正交?二、向量的长度与夹角三、正交性问题1、正交的概念xy）θ称为n维向量x与y的夹角?对于n维向量x，y，当x?0?y?0时?定理1正交向量组一定线性无关?即若a1?a2?????ar是一组两两正交的非零向量?则a1?a2?????ar线性无关?当[x?y]?0时?称向量x与y正交?三、正交性问题1、正交的概念2、正交向量组的概念若向量组中的向量非零且两两正交，则称该向量组为正交向量组．例1.1已知3维向量空间R3中两个向量a1?(1?1?1)T?a2?(1??2?1)T正交?试求一个非零向量a3使a1?a2?a3两两正交?解设a3?(x1?