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第三章微分方程方法

3.1微分方程的一般理论

微分方程是研究函数变化规律的有力工具，有着广泛的实际应用。针对所研究的对象建立微分方程模型是解决问题的第一步，实际中只有求出微分方程的解才能对所研究的问题进行解释说明。一般说来，求微分方程的解析解是困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解，因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和稳定性问题。

3.1.1微分方程的一般形式

一阶微分方程

SKIPIF10(3.1)

其中SKIPIF10是SKIPIF10和SKIPIF10的已知函数，SKIPIF10为初始条件，又称定解条件。

一阶微分方程组

SKIPIF10（3.2）

又称为一阶正规方程组。如果引入向量

SKIPIF10，SKIPIF10，

SKIPIF10，SKIPIF10。

则方程组（3.2）可以写为简单的形式

SKIPIF10（3.3）

即与方程（3.1）的形式相同，当SKIPIF10时为方程（3.1）。

对于任一高阶的微分方程

SKIPIF10，

如果记SKIPIF10，则方程为SKIPIF10即可化为一阶方程组的形式。因此，下面主要对正规方程组（3.3）进行讨论。

3.1.2微分方程解的存在惟一性

正规方程组（3.3）的解在什么条件下存在，且惟一呢？有下面的定理。

定理3.1（Cauchy-Peano）如果函数SKIPIF10在区域SKIPIF10上连续，则方程组（3.3）在SKIPIF10上有解SKIPIF10满足初值条件SKIPIF10，此处SKIPIF10。（此处区域SKIPIF10中的SKIPIF10要理解为范数）。

定理3.2如果函数SKIPIF10在区域SKIPIF10上连续，且满足利普希茨(Lipschitz)条件（即存在正常数SKIPIF10使得SKIPIF10，其中SKIPIF10），则方程组（3.3）满足初值条件SKIPIF10的解是惟一的。

定理（解对初值的连续依赖定理）假设函数SKIPIF10在区域SKIPIF10上连续且满足利普希茨(Lipschitz)条件，SKIPIF10，SKIPIF10是方程

SKIPIF10（3.3.1）

满足条件SKIPIF10的解，它于区间SKIPIF10上有定义，那么，对于任意给定的SKIPIF10，必能找到正数SKIPIF10，使得当

SKIPIF10

时，方程（3.3.1）的满足条件SKIPIF10的解SKIPIF10在SKIPIF10上也有定义，并且

SKIPIF10SKIPIF10。

定理证明详略[8]，其中最后一个定理在下面还要详细讲述。

3.1.3微分方程的稳定性问题

在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只能考虑影响该过程的主要因素，而不得不忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时地起作用，也可持续地起作用。从数学上来看，前者会引起初值条件的变化，而后者则会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的，由此可见，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。这里仍以方程组（3.3）为例讨论。

1.有限区间的稳定性

如果SKIPIF10在某个有限的区域SKIPIF10内连续，且对SKIPIF10满足利普希茨，SKIP