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高中数学构造函数法解决导数不等式问题(一)

f(x)

以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f(x)±g(x)，f(x)g(x)，”等特征式、旨在考查导数运

g(x)

算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，

解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导

函数，然后利用该函数的性质解决问题．

导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f′(x)，则单调性就变的相当隐晦

了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一

个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f′(x)的形式，则我们要构造的则

是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f′(x)，因此解决导数抽象函数不等式的

重中之重是构造函数．

构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分

析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的

解答上．

构造函数的主要步骤：

(1)分析：分析已知条件，联想函数模型；

(2)构造：构造辅助函数，转化问题本质；

(3)回归：解析所构函数，回归所求问题．

n

考点一构造F(x)＝xf(x)(n∈Z，且n≠0)类型的辅助函数

【方法总结】

－－

nn1nn1

(1)若F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝nxf(x)＋xf′(x)＝x[nf(x)＋xf′(x)]；

－

nn1xf′(x)－nf(x)

f(x)f′(x)x－nxf(x)

(2)若F(x)＝，则F′(x)＝＝＋．

n2nn1

xxx

由此得到结论：

n

(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xf(x)；

f(x)

(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝．

n

x

【例题选讲】

[例1](1)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)＜－xf′(x)，则不等式f(x＋1)(x

2

－1)f(x－1)的解集是()

A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(1，2)D．(2，＋∞)

(2)已知函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f′(x)，且满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不



x＋2021fx＋20215f5

等式＜的解集为()

5x＋2021

A．{x