高考分类整理汇编之概率统计与排列组合二项式定理1.doc

2011年高考分类汇编之概率统计与排列组合二项式定理（一）

安徽理

?

（12）设，则????????.

（12)【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.

【解析】，，所以.

（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.

??????解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于

??????

??（II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为?

X

1

2

3

P

??????所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是

??????

?（III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，

??????

??????根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.

??????下面证明：对于的任意排列，都有

??????……（*）

??????事实上，

??????

??????即（*）成立.

??????（方法二）（i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.

??????（ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.

综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.

?

安徽文

?

(9)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于

（A）????????(B)?????????(C)????????????(D)

（9）D【命题意图】本题考查古典概型的概率问题.属中等偏难题.

【解析】通过画树状图可知从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，以它们作为顶点的四边形共有15个，其中能构成矩形3个，所以是矩形的概率为.故选D.

（20）（本小题满分10分）

某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

2002

2004

2006

2008

2010

需求量（万吨）

236

246

257

276

286

（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程;

（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.

（20）（本小题满分10分）本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.

??????解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份—2006

－4

－2

0

2

4

需求量—257

－21

－11

0

19

29

对预处理后的数据，容易算得

??????

??????由上述计算结果，知所求回归直线方程为

??????

??????即??????①

??????（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

??????（万吨）≈300（万吨）.

?

北京理

?

12.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有______个(用数字作答)

【解析】个数为。

17.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。

（注：方差，其中为