2024版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性.docxVIP

第三节函数的奇偶性与周期性

考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．

2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的奇偶性的定义

奇偶性

偶函数

奇函数

条件

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I

结论

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

图象特点

关于y轴对称

关于原点对称

1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

2．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：

(1)f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f?xfx＝1?

(2)f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f?xfx＝－1?

2．函数图象的对称性

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

3．函数的周期性

(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T就叫做这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．

4．对称性与周期的关系

(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．

(2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．

(3)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．

周期函数定义的实质

存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

5．常用结论

(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(4)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(

(5)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．

(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0. (×)

(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

(√)

(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．

(√)

(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期． (×)

2．函数f(x)＝1x－x

A．y轴对称

B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称

D．直线y＝x对称

C解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－1x＋x＝－1x?x＝－

所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．

3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，则f92

A．12

C．22

B解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f92＝f12＝21

4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()

A．－13

C．12 D．－

B解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝1

5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()

A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)

C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x

BD解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．

对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；

对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；

对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；

对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇