2024-2025学年上海市七宝中学高三上学期开学考试数学试卷含详解.docx

七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.函数的最小正周期为______．

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.

3.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.

4.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为______．

类别

老年教师

中年教师

青年教师

合计

人数

36

72

64

172

5.已知，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为_______．

6.一圆锥轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的体积是______．

7.在中，，则___________．（结果用反三角函数值表示）

8.若（且），且则=_______.

9.对于正数、，称是、的算术平均值，并称是、的几何平均值.设，，若、的算术平均值是1，则、的几何平均值（是自然对数的底）的最小值是__________.

10.已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程有个根，则的取值范围是________

11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M在双曲线C的右支上，，若与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且，其中O为坐标原点，则双曲线C的标准方程为______．

12.已知存在对于任意的实数，不等式则实数T的取值范围为_____________．

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13，14题每题4分，第15，16每题5分）

13.设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（）

A. B. C. D.

14.已知事件与事件是互斥事件，则（）

A. B.

C. D.

15.设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（）个．

A.1 B.2 C.3 D.4

16.已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（）个

A.2 B.3 C.4 D.5

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17.如图，四棱锥的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，底面ABCD，点M为PC中点，，，．

（1）求异面直线AP与BM所成角；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角

18.某企业2022年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年消费基金千万元后，剩余资金投入再生产.设从2022年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为，，，…

（1）写出，，，并证明数列等比数列；

（2）至少到哪一年年底，企业的剩余资金会超过21千万元？

19.某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响.

（1）若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出概率；

（2）若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望.

20.已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q，

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点；

（3）若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．

七宝中学2024学年第一学期高三年级数学开学考

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1.函数的最小正周期为______．

【答案】

【分析】利用求出最小正周期.

【详解】的最小正周期为.

故答案为：

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________.

【答案】##i-2

【分析】根据复数的乘法运算求解即可.

【详解】由题意知，，

则，

故答案为：

3.已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________.

【答案】

【分析】由并集的定义及数轴表示可得解.

【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.

【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.

4.某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为______．

类别

老年教师

中年教师

青年教师

合计

人数

36

72

64

172

【答案】

【分析