2024-2025学年上海市延安中学高三上学期开学考试数学试卷含详解.docx

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期

开学考数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.若集合，则______.

2.不等式解集为______.

3.若（为虚数单位），则共轭复数为______.

4.若角的终边经过点，则______.

5.某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表.已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率______.

6.若的展开式中的系数是，则．

7.已知圆，则圆心到直线的最大距离为______.

8.设当时，函数取得最大值，则__________.

9.已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______.

10.已知两个非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为______.

11.定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的范围为_____．

12.若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是______.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.“”是“”成立的（）条件.

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

14.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

A.6种 B.12种 C.24种 D.30种

15.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（）

A B.平面ABCD

C.三棱锥的体积为定值 D.异面直线AE，BF所成的角为定值

16.我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系.如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为.在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为.若Ax1,y1,Bx2,y2是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离AB为（）

A.

B.

C.

D.

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.如图，已知正方体的棱长为.

（1）求直线和平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小.

18.已知，曲线在点处的切线斜率为.

（1）求值；

（2）求不等式解集.

19.2021年8月，义务交于阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数

不喜欢奥数

总计

已选奥数课（A组）

150

50

200

未选奥数课（B组）

90

110

200

总计

240

160

400

（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A组、B组各抽取多少人？

（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？

附：

参考公式：，其中.

20.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交于P，Q两点，若l与圆相切，求证：；

（3）设椭圆，若M，N分别是，上的动点，且，求证：O到直线MN的距离是定值．

21.已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（1）求，，，；

（2）求数列的前项和；

（3）记，，求证：．

2024-2025学年上海市延安中学高三年级上学期

开学考数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.若集合，则______.

【答案】

【分析】运用并集概念计算即可.

【详解】根据并集概念，知道.

故答案为：.

2.不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据绝对值不等式的解法求得正确答案.

【详解】依题意，，或.

所以不等式的解集为：.

故答案为：

3.若（为虚数单位），则的共轭复数为______.

【答案】