高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题.docx

圆锥曲线基础知识与典型例题

第一部分：椭圆

1、知识关系网

基础知识点

(1).椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

(2).椭圆的标准方程和其几何性质(如下表所示)

标准方程

图形

顶点

,

,

对称轴

轴，轴，长轴长为，短轴长为

焦点

、

、

焦距

焦距为

离心率

(0e1)越大椭圆越扁

第二部分：双曲线

知识网络

基本知识点

(1)双曲线的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

(2)双曲线的标准方程和其几何性质(如下表所示)

标准方程

图形

顶点

对称轴

轴，轴，实轴长为，虚轴长为

焦点

焦距

焦距为

离心率

(e1)越大双曲线开口越大

第三部分：抛物线

知识网络

基本知识点

(1)抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.

(2)抛物线的标准方程和其几何性质(如下表所示)

标准方程

图形

对称轴

轴

轴

轴

轴

焦点

顶点

原点

准线

离心率

1

第四部分：圆锥曲线综合问题

1.直线与圆锥曲线的位置关系

⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定

直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.

方法：直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、.

注：直线方程与双曲线方程、抛物线方程联立消元后注意二次项系数为零的情况讨论.

⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长

=1\*GB3①当直线存在斜率时，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为，

则它的弦长

=2\*GB3②当直线斜率不存在时，则.

(3)椭圆、双曲线的通径：（过焦点且垂直于焦点所在对称轴的弦）

椭圆焦点三角形面积公式：（点是椭圆上的点）

双曲线焦点三角形面积公式：（点是双曲线上的点）

(4)抛物线相关结论：

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路.（自己可以尝试证明这些结论）

若AB是抛物线的焦点弦，且，，则有如下结论：

=1\*GB3①，=2\*GB3②，（为所在直线倾斜角）=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤

=6\*GB3⑥相切：=1\*alphabetica.以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切；

b.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切；

c.以或为直径端点的圆与轴相切.

2.圆锥曲线问题求解策略:

1.一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉和到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

第五部分：圆锥曲线考点、题型、方法

题型一：定义的应用

（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合

典型例题

例1、动圆M与圆内切,与圆外切，求圆心M的轨迹方程.

例2、方程表示的曲线是

例3、是定点，，动点M满足，则M点的轨迹是()

(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段

例4、抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是()

(A)(B)(C)(D)0

例5、已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长为（）

（A）10（B）20（C）（D）

例6、椭圆的焦点、，P为椭圆上的一点，，则△的面积为（）（A）9（B）12（C）10（D）8

例7、双曲线右支点上一点P到右焦点的距离为2，则P点到左焦点的距离为（）（A）6（B）8（C）10（D）12

例8、抛物线上的一点到焦点的距离为9，则点的坐标是

题型二：圆锥曲线标准方程

特别关注：焦点位置的正确判断（首先化成标准方程，然后再判断，先定位后定量计算）

方法要求：熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的标准方程.

椭圆：由、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上；

双曲线：由、项的系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号正、负决定开口方向。

典型例题

例9、若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是

例10、当为何值时,方程的曲线：