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第十八章隐函数定理及其应用
§18.1隐函数
§18.2隐函数组
§18.3几何应用
§18.4条件极值
§18.1隐函数
18.1.1隐函数概念
18.1.2.隐函数存在条件的直观意义
18.1.3.隐函数定理
18.1.4.隐函数可微性定理
18.1.1隐函数概念
以前遇到的函数表示式大多为自变量的算式:
这种函数称为显函数。
1.隐函数及其几何意义
隐函数的几何意义
z
zF(x,y)
o
y
F(x,y)0,
即yf(x),xI
x
1
能写出隐函数的显函数形式:y
x22x1
二个。
于是,指明确定隐函数的方程及其x,y的取值范围后,
该隐函数才有意义.
2.隐函数的两个问题
ⅰ隐函数的存在唯一性?
ⅱ隐函数的解析性质(连续性、可微性)?
18.1.2.隐函数存在条件的直观意义
为了隐函数y=f(x)或x=g(y)存在,即z=F(x,y)与z=0相交
使
(1).P0(x0,y0),F(x0,y0)0;
z为了y=f(x)或x=g(y)存在,连续
zF(x,y)
o
y
yf(x)为了y=f(x)或x=g(y)连续
P0
x
在点,(1)的两端关于求导,由链式法则得
P0x,:
dy
Fx(P0)Fy(P0)0
dxxx0
当时得dyFx(P0)
Fy(P0)0,:
dxxx0Fy(P0)
同理当时得dxFy(P0)
,Fx(P0)0,:
dyF(P)
yy0x0
18.1.3.隐函数定理
证明分析:
zy
zF(x,y)
F(x,y)0
y0
oP0
yy
yf(x)
P0
x
x
ox0x0x0x
证明分析:(一)(二)(三)
(四)
一
().(x,y)DFy(x,y)0
二)(1).取在上严
(0b,F(x0,y)y0,y0,
y(2).在端点,函数值异号;
y0b
y0(三)a,x(x,x),
FF((xx,,yy))0000
有
:F(x,y0)0,
y0P
0
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