数学分析 课件 第13章.pptVIP

定理13.3(一致收敛的柯西准则)函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件为:对任,存在正整数给的正数，使当对一切和或此定理中当p=1时,得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论(函数项级数一致收敛的必要条件)函数项级数要条件是函数列在上一致收敛于零.定理13.4(余项法则)函数项级数在数集D一致收上讨论,则由上讨论这个级数,则由例6讨论函数项级数在上一致收敛性.所以于是由解得最大值点,故解当时,;当时因此在上一致收敛.注当和函数容易求出时,余项准则是比较好用的一种判别方法.0.510.20.40.60.81图13-5三、函数项级数的一致收敛判别法判别函数项级数的一致收敛性除了根据定义、柯西准则或余项准则外,有些级数还可以根据级数一般项的某些特性来判别.定理13.5(魏尔斯特拉斯判别法，或优级数判别法)设函数项级数为收敛的正项级数，证,存在某正整数N,使得当nN西准则,任给正数及任何正整数p,有根据函数项级数一致收敛的柯西准则,级数在D上一致收敛.例7函数项级数当级数上成立关系式(13)时,则称级数在区间上优于级数,或称的优级数.优级数判别法也称为M判别法.利用阿贝尔分部求和公式(第十二章§3的引理),可以得到与数项级数相似的判别函数项级数一致收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.设有定义在区间I上形如的函数项级数.对级数(14)有:定理13.6(阿贝耳判别法)设和正整数,存在正数M,使得则级数(14)在I上一致收敛.又由(ii),(iii)及阿贝耳引理(第十二章§3的引理的推论)得到由函数项级数一致收敛性的柯西准则,得级数(14)在I上一致收敛.证定理13.7(狄利克雷判别法)设在I上一致有界;则级数(14)在I上一致收敛.证由(i),存在正数M,对一切xI,有因此当n,p为任何正整数时,对任何一个xI,再由(ii)及阿贝耳引理得到0,存在正数N,当nN时,对再由(iii),对任给的一切xI,有所以于是由一致收敛性的柯西准则,级数(14)在I上一致收敛.例8函数项级数在[0,1]上一致收敛.,于是在[0,1]上一致收敛，在[0,1]上单调增且一致有界,由阿贝耳判别法就能得到结果.证由第十二章§3(21)式,在[α,2π-α]上有例9若数列单调且收敛于零,则级数致有界,于是令一致收敛.则由狄利克雷判别法可得级数(15)在上注对于例7中的级数(15),只要单调且收敛于零,闭区间上一致收敛.例10设在上可积,证明函数项级数在上一致收敛.证因为在上可积,所以存在,使得,于是有级数(15)就在不包含的任何由数学归纳法容易得到因为数项级数收敛,所以根据优级数判别法知原级数在上一致收敛.复习思考题1.总结函数列和函数项级数一致收敛的判别方法(不局限于书上现成的判别法);判别不一致收敛通常可以使用哪些方法呢？2．给出函数项级数在D上不一致收敛的柯西准则(即柯西收敛准则的否定形式).§2一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.返回定理13.8(极限交换定理)设函数列在上一致收敛于,且对每个n,即证先证是收敛数列.对任意,由于一致收敛,故存在正整数N,当nN及任意正整数p,对一切有从而于是由柯西准则可知是收敛数列,即下面证明注意到只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定的任意正数即可.，,因此对任由于一致收敛于收敛于同时成立.特别当时,有,有,存在正数,当时,对任意又因为故存在,当时,也有这就证明了定理指出:在一致收敛的条件下,