数学分析 课件 第17章.pptVIP

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§1可微性与偏导

本节数首先讨论二元函数的可微性,这

是多元函数微分学最基本的概念.然后给

出对单个自变量的变化率,即偏导数.偏

导数无论在理论上或在应用上都起着关键

性的作用.

一、可微性与全微分

二、偏导数

三、可微性条件

四、可微性的几何意义及应用

一、可微性与全微分

定义设函数在某邻域内有定

1zf(x,y)U(P0)

义.对于

P(x,y)(x0x,y0y)U(P0),若f在

P0的全增量z可表示为:

zf(x0x,y0y)f(x0,y0)

AxByo(),(1)

其中,是仅与点有关的常数22

ABP0,xy,

o()是的高阶无穷小量,则称f在点P0可微.

并称(1)式中关于x,y的线性表达式AxBy

为在

fP0的全微分,记作

dz|df(x,y)AxBy.(2)

P000

由(1),(2)可见,当|x|,|y|充分小时,全微分dz

可作为全增量z的近似值,于是有近似公式:

f(x,y)f(x0,y0)A(xx0)B(yy0).(3)

在使用上,有时也把(1)式写成如下形式:

zAxByxy,(4)

这里limlim0.

(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)

在任一点的可微性

例1考察f(x,y)xy(x0,y0).

解在点处的全增量为

f(x0,y0)

f(x0,y0)(x0x)(y0y)x0y0

y0xx0yxy.

|xy||x||y|

由于0(0),



因此从而在可微且

xyo().f(x0,y0),

dfy0xx0y.

二、偏导数

由一元函数微分学知道若在可微则

:f(x)x0,

其中

f(x0x)f(x0)Axo(x),Af(x0).

现在来讨论:当二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可微

时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值?

为此在(4)式中先令y0(x0),这时得到f关

于x的偏增量为

z

zAxx或xA.

xx

现让x0,由上式便得A的一个极限表示式

xzf(x0x,y0)f(x0,y0)

Alimlim.(5)

x0xx0x

容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数

在处的导数

f(x,y0)xx0.

类似地,在(4)式中令x0(y0),

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