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§1含参量正常积分
对多元函数其中的一个自变量进行积分
形成的函数称为含参量积分,它可用来构造
新的非初等函数.含参量积分包含正常积分
和非正常积分两种形式.
一、含参量正常积分的定义
二、含参量正常积分的连续性
三、含参量正常积分的可微性
四、含参量正常积分的可积性
五、例题
一、含参量正常积分的定义
设f(x,y)是定义在矩形区域R[a,b][c,d]上的
二元函数.当x取[a,b]上的定值时,函数f(x,y)是
定义在[c,d]上以y为自变量的一元函数.倘若这时
f(x,y)在[c,d]上可积,则其积分值
d
I(x)f(x,y)dy,x[a,b](1)
c
是定义在[a,b]上的函数.
一般地,设f(x,y)为定义在区域
G{(x,y)|c(x)yd(x),axb}
上的二元函数,其中c(x),d(x)为定义在[a,b]上的连
续函数(图19-1),
yyd(x)
G
yc(x)
Oabx
图191
若对于[a,b]上每一固定的x值,f(x,y)作为y的函
数在闭区间[c(x),d(x)]上可积,则其积分值
d(x)
F(x)f(x,y)dy,x[a,b](2)
c(x)
是定义在[a,b]上的函数.
用积分形式(1)和(2)所定义的这函数I(x)与F(x)
通称为定义在[a,b]上的含参量x的(正常)积分,
或简称为含参量积分.
二、含参量正常积分的连续性
定理19.1(I(x)的连续性)若二元函数f(x,y)在矩
形区域R[a,b][c,d]上连续,则函数
d
I(x)f(x,y)dy
c
在[a,b]上连续.
证设x[a,b],对充分小的x,有xx[a,b](若
x为区间的端点,则仅考虑x0或x0),于是
d
I(xx)I(x)[f(xx,y)f(x,y)]dy,(3)
c
由于f(x,y)在有界闭区域R上连续,从而一致连续,
即对任意0,总存在0,对R内任意两点
与,
(x1,y1)(x2,y2)只要
|x1x2|,|y1y2|,
就有
|f(x1,y1)f(x2,y2)|.(4)
所以由(3),(4)可得,当|x|时,
d
|I(xx)I(x)||f(xx,y)f(x,y)|dy
c
d
dx(dc).
c
即I(x)在[a,b]上连续.
同理可证:若f(x,y)在矩形区域R上连续,则含参
量y的积分
b
J(y)f(x,y)dx(5)
a
在[c,d]上连续.
注1对于定理19.1的结论也可以写成如下的形式:
若f(x,y)在矩形区域R上连续,则对任何
都有
x0[a,b],
dd
limf(x
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