3.2.2奇偶性（七个重难点突破）（解析版）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第一册）.docx

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3.2.2奇偶性

一、判断及证明函数的奇偶性

五、利用奇偶性求解析式

二、利用函数的奇偶性求函数值

六、单调性与奇偶性结合比较大小

三、构造奇偶函数求函数值

七、单调性与奇偶性结合解不等式

四、利用奇偶性求参数

知识点1函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有

图象关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有

图象关于原点对称

注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域；

（2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．

知识点2奇偶函数的性质

（1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.

（2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致．

（3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反．

（4），在它们的公共定义域上有下面的结论：

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

偶函数

奇函数

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

奇函数

奇函数

偶函数

奇函数

重难点一判断及证明函数的奇偶性

【例1】下列说法中错误的是（????）

A．函数是奇函数

B．函数是偶函数

C．函数，是偶函数

D．函数既不是奇函数，也不是偶函数

【答案】C

【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，，则f-x=-fx，所以函数是奇函数；

对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，，则f-x=fx，所以函数是偶函数；

对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，

所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数；

对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

又，，则且，

因此函数既不是奇函数，也不是偶函数.

所以选项中C的说法不正确，

故选：C.

【例2】判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【答案】(1)偶函数

(2)既是奇函数又是偶函数

(3)非奇非偶函数

(4)奇函数．

【详解】（1）函数的定义域为R，关于原点对称，

又，

∴为偶函数．

（2）函数的定义域为，关于原点对称，且，

又f-x=-fx

∴既是奇函数又是偶函数．

（3）函数的定义域为，不关于原点对称，

∴是非奇非偶函数．

（4）函数的定义域为，

∵，都有，

且，

∴是奇函数．

【变式1-1】已知函数，则（????）

A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数

C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数

【答案】B

【详解】的定义域为．．即函数为奇函数．

当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数．

故选：B

【变式1-2】已知函数，则下列函数为奇函数的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】因为，

所以，

令，定义域为，

且，

所以为奇函数，故C正确；

又，为非奇非偶函数，故A错误；

，为非奇非偶函数，故B错误；

，为非奇非偶函数，故D错误.

故选：C

【变式1-3】已知函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由.

【答案】(1)3

(2)奇函数，理由见解析

【详解】（1）由解析式知；

（2）函数为奇函数，理由如下：

定义域为，

且，

所以为奇函数.

重难点二利用函数的奇偶性求函数值

【例3】已知是定义在上的奇函数，若，则（???）

A． B． C．2 D．3

【答案】C

【详解】由是定义在上的奇函数，得，

即，令，则，而，

所以.

故选：C

【例4】若函数为奇函数，则（?????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由为奇函数，

则，故B正确.

故选：B.

【变式2-1】已知函数是上的偶函数，若，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【详解】是偶函数，则，且，代入计算得到.

故选：A.

【变式2-2】设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由为奇函数，则有，

则，即，

由为偶函数，则有，即，

则，即，

即，故D正确；

A、B、C都不能得到，故A、B、C错误.

故选：D.

【变式2-3】设函数若为奇函数，则（????）

A．4 B．2 C． D．

【答案】A

【详解】因是奇函数，

故.

故选：A.

重难点三构造奇偶函数求函数值

【例5】已知函数，则等于（????）

A．5 B．0 C．10 D．14

【答案】C

【详解】令，，则，

又，

所以为奇函数，则，即，

所以.

故选：C

【例6】已知函数，若，则．

【答案】6

【详解】解：令，，

所以为奇函数，

所以，所以，

所以，所以．

故答案为：6.

【变式3-1】设，若，则．

【答案】3

【详解】，