培优05 平面向量的最值范围及四心问题（六大题型）（解析版）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练.docx

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

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培优05平面向量的最值范围及四心问题

题型01数量积的最值范围问题

例1．在四边形ABCD中，．若P为线段上一动点，则的最大值为（????）

A．1 B．3

C．5 D．7

【答案】B

【详解】因为，以为原点，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，

，B4,0，，，设，

，，

所以，

因为x∈0,2，所以当时取得最大值.

故选：B.

例2．已知，，若动点P，Q与点A，M共面，且满足，，则的最大值为（????）

A．0 B． C．1 D．2

【答案】C

【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，

由，得点在以为圆心，2为半径的圆上，

由，得点在以为圆心，1为半径的圆上，

设，

则

，

当时，能取到所有等号，

所以的最大值为1.

故选：C

【点睛】关键点点睛：建立坐标系，利用向量的坐标运算，转化为求三角函数最值处理是解题的关键.

练习1．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的最大值为（????）

A．0 B． C．3 D．

【答案】C

【详解】，

所以，

，

，

，

，，

当时，取得最大值.

故选：C

练习2．已知梯形ABCD中，，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，

设，则，

因为，，，，

则D点横坐标为，纵坐标为，所以，

则，

所以当时，取得最小值，

故选：D

练习3．在直角梯形中，，点在边上（包含端点），若，则的取值范围是．

【答案】

【详解】

在直角梯形中，，

以A为坐标原点，以，所在直线为，轴建立直角坐标系，

因为，

则，，，

则,

因为点在边上（包含端点），有，

设，则，

所以，则，

所以，

则，

则，

所以，

则当时，有最大值，

当时，有最小值，

所以的取值范围是.

故答案为：.

练习4．如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点；

(1)当M是线段CE的中点时，

①若，求的值；

②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数；

(2)当时，求的最小值.

【答案】(1)①；②证明见解析，常数为；

(2).

【详解】（1）①依题意，，

而不共线，则，所以.

②依题意，，

由，得，由，得，由，得，

因此，

所以为常数，该常数为.

（2）依题意，，则

，解得，则，

设，则，

，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

题型02模长的最值范围问题

例3．已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（????）

A．9 B．3 C． D．10

【答案】C

【详解】根据条件得，

得到，所以，即的最大值为，

故选：C.

例4．已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（????）

A． B． C． D．5

【答案】C

【详解】因为不共线的平面向量、、两两的夹角相等，

所以它们的夹角都为,

因为，，，

所以，，，

所以

因为、、，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

当时，

综上可得当或时，.

故选：C.

练习1．已知非零向量，满足，，则的最大值为

A． B． C． D．5

【答案】A

【详解】，由，则有，

又，

即，

令，

则，

故选：A．

练习2．平面向量满足，若，则最小值为（????）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【详解】法一：因为，

得，

即，所以，

设与的夹角为，则，

当时，最小值为.

故选：B.

法二：因为，如图所示：

设中，，则，

设，由知，

点在线段的垂直平分线上，且，

则最小值为点到直线的距离.

故选：B.

法三：因为，建立如图平面直角坐标系，

则.设，由知，，

则，

当取最小值.

故选：B.

练习3．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是．

【答案】

【详解】由，

所以，对任意实数成立，

所以，即，

即，所以.

故答案为：

【点睛】本题是一个综合性的题目，一个是数量积的运算，包括模的处理方法，一个是一元二次不等式恒成立问题，包括一元二次不等式的解法，还需要对主参变量进行确定.

练习4．已知．

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值；

(3)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）

由于，所以，故

（2）

（3）法一：记，

则

根据余弦定理得，

则，即

则，所以最小值为

法二：

当时，取得最小值

题型03夹角的最值范围问题

例5．已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】在平行四边形中，，，