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2023届北京市西城区第三十九中学高三下学期数学试题统练(八)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,,,,则()
A. B. C. D.
2.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,若正方体的六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为,则下列结论正确的是()
A. B. C. D.
3.集合,则()
A. B. C. D.
4.()
A. B. C. D.
5.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知为虚数单位,复数,则其共轭复数()
A. B. C. D.
7.已知实数满足约束条件,则的最小值为()
A.-5 B.2 C.7 D.11
8.已知,复数,,且为实数,则()
A. B. C.3 D.-3
9.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()
A. B. C. D.
10.已知集合A,B=,则A∩B=
A. B. C. D.
11.命题:的否定为
A. B.
C. D.
12.已知某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为()
A.3 B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.
14.如图,已知一块半径为2的残缺的半圆形材料,O为半圆的圆心,,残缺部分位于过点C的竖直线的右侧,现要在这块材料上裁出一个直角三角形,若该直角三角形一条边在上,则裁出三角形面积的最大值为______.
15.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.
16.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)设椭圆:的左、右焦点分别为,,下顶点为,椭圆的离心率是,的面积是.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于,两点(异于点),若直线与直线的斜率之和为1,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
18.(12分)已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹;
(2)若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.
19.(12分)已知数列中,(实数为常数),是其前项和,且数列是等比数列,恰为与的等比中项.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.
20.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;
(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.
21.(12分)已知函数,且.
(1)求的解析式;
(2)已知,若对任意的,总存在,使得成立,求的取值范围.
22.(10分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.
【详解】
时,
令,求导
,,故单调递增:
∴,
当,设,
,
又,
,即,
故.
故选:D
【点睛】
本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.
2.A
【解析】
根据题意,画出几何位置图形,由图形的位置关系分别求得的值,即可比较各选项.
【详解】
如下图所示,平面,从而平面,
易知与正方体的其余四个面所在平面均相交,
∴,
∵平面,平面,且与正方体的其余四个面所在平面均相交,
∴,
∴结合四个选项可知,只有正确.
故选:A.
【点睛】
本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.
3.D
【解析】
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