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高中数学含参函数的极值、最值讨论

考点一含参函数的极值

【例题选讲】

1

2

[例1]设a＞0，函数f(x)＝x－(a＋1)x＋a(1＋lnx)．

2

(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．

(2)求函数f(x)的极值．

[例2]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

1

(1)当a＝时，求f(x)的极值；

2

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．

3

2

[例3]设f(x)＝xlnx－ax＋(3a－1)x．

2

(1)若g(x)＝f′(x)在[1，2]上单调，求a的取值范围；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

2

[例4](2016·山东)设f(x)＝xlnx－ax＋(2a－1)x，a∈R．

(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．

a

x－1－

x

[例5]已知函数f(x)＝6e＋1，其中e＝2.718…为自然对数的底数，常数a0．

(1)求函数f(x)在区间(0，＋∞)上的零点个数；

(x)

(2)函数F(x)的导数F′(x)＝e－af(x)，是否存在无数个a∈(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？

请说明理由．

【对点训练】

1

2

1．已知函数f(x)＝lnx－ax＋x，a∈R.

2

(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；

(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函数g(x)的极值．

2x

2．设函数f(x)＝[ax－(4a＋1)x＋4a＋3]e．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；

(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．

a

2

3．已知函数f(x)＝x－3x＋．

x

(1)若a＝4，讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有3个极值点，求实数a的取值范围．

2

4．已知函数f(x)＝ax－x－lnx(a∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)存在极值，且这些极值的和大于5＋ln2，求实数a的取值范围．

2

5．(2018·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax)·ln(1＋x)－2x．

(1)若a＝0，证明：当－1x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0．

(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a．

考点二含参函数的最值

【例题选讲】

[例1]已知函数f(x)＝l