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高中数学含参函数的单调性讨论

【方法总结】

分类讨论思想研究函数的单调性

讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析

式中的符号变化部分，即导数的主要部分，简称导主．讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数

符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：

(1)最高次幂的系数是否为0，即“是不是”；

(2)导函数是否有变号零点，即“有没有”；

(3)导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内，即“在不在”；

(4)导函数的变号零点之间的大小关系，即“大不大”．

牢记：十二字方针“是不是，有没有，在不在，大不大”．

考点一导主一次型

【例题选讲】

[例1]已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．

1．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．讨论函数f(x)的单调性．

2．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)，讨论函数f(x)的单调性．

考点二导主二次型

【方法总结】

此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以转化为一个二次函数的含参问题．对于二次三

项式含参问题，有如下处理思路：

(1)首先需要考虑二次项系数是否含有参数．如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为

负进行讨论；

(2)其次考虑二次三项式能否因式分解，如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点

是否在定义域内，如果x，x都在定义域内，则讨论个零点x，x的大小；如果二次三项式不能因式分解，

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这表明不一定存在零点，需讨论判别式Δ≤0和Δ0分类讨论；

【例题选讲】

命题点1是不是＋有没有＋在不在

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[例2](2021·全国乙节选)已知函数f(x)＝x－x＋ax＋1．讨论f(x)的单调性．

1

[例3](2018·全国Ⅰ节选)已知函数f(x)＝－x＋alnx，讨论f(x)的单调性．

x

x－1

[例4]设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数．讨论函数f(x)的单调性．

x＋1

【对点训练】

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3．(2020·全国Ⅲ节选)已知函数f(x)＝x－kx＋k．讨论f(x)的单调性．

2

4．已知函数f(x)＝x－＋1－alnx，a0．讨论f(x)的单调性．

x

2x

5．已知函数f(x)＝(1＋ax)e－1，当a≥0时，讨论函数f(x)的单调性．

命题点2是不是＋在不在＋大不大

2

[例5]已知函数f(x)＝lnx＋ax－(2a＋1)x．若a0，试讨论函数f(x)的单调性．

－

2ax

[例6]已知函数f(x)＝xe－1(a是常数)，求函数y＝f(x)的单调区间．

1

[例7]已知函数f(x)＝(a＋1)lnx＋－ax＋2(a∈R)．讨论f(x)的单调性．

x