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数学分析第四章

函数的连续性§1连续函数的概念

一、函数在一点的连续性

连续函数是

数学分析中着重讨论二、间断点的分类

的一类函数.

三、区间上的连续函数

*点击以上标题可直接前往对应内容

区间上的

§1连续函数的概念函数在一点的连续性间断点的分类

连续函数

函数在一点的连续性

定义1

设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,且

limf(x)f(x0),(1)

xx0

则称在点连续

f(x)x0.

由定义1知,我们是通过函数的极限来定义连续

性的,换句话说连续就是指在点的极限不

f(x)x0

仅存在,而且其值恰为在点的函数值

f(x)x0f(x0).

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数学分析第四章函数的连续性

高等教育出版社

区间上的

§1连续函数的概念函数在一点的连续性间断点的分类

连续函数

例如:f(x)xsgnx在x0处连续,这是因为

limxsgnx0f(0).

x0

y

yxsgnx

Ox

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区间上的

§1连续函数的概念函数在一点的连续性间断点的分类

连续函数

又如:函数

x,x0,

f(x)(a0)

a,x0

在x0处不连续,这是因为limf(x)0f(0).

x0

y

a

Ox

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区间上的

§1连续函数的概念函数在一点的连续性间断点的分类

连续函数

函数f(x)sgnx在点x0处不连续,这是因为

极限limsgnx不存在.

x0

由极限的定义,定义1可以叙述为:对于任意正数,

存在当时有

d0,0|xx0|d,

f(x)f(x0).(2)

注意到(2)式在xx0时恒成立,因此0xx0d

可改写为xx0d这样就得到函数f(x)在点x0

连续的d定义.

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