数学分析（4版）-华东师范大学第7章实数的完备性.pptVIP

一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点唯性定理,这无限多项必有的无限多项.之外含有使得在倘若不然,则存在此时易证由致密上（下）极限的基本性质证明过程,哪一步通不过?的区间套定理作为区间套定理的应用,下面来证明柯西收敛准则.即证明数列{an}收敛的充要条件是:对任意的存在N,?0,证(必要性)区间套定理区间套定理区间套定理由定理1的推论，定义2设S为数轴上的非空点集,?为直线上的一个定点(当然可以属于S,也可以不属于S).数?,在(???,?+?)中含有S的无限个点,聚点定理与有限覆盖定理则称?是S的一个聚点.即聚点定理与有限覆盖定理若对于任意正定义2”定义2’为了便于应用,下面介绍两个与定义2等价的定义.若存在各项互异的收敛数列若设S是[0,1]中的无理数全体,S?(称为S的导集)为闭区间[0,1].则S的聚点集合聚点定理与有限覆盖定理定义2?定义2?由定义直接得到.定义2??定义2?那么下面简单叙述一下这三个定义的等价性.因为聚点定理与有限覆盖定理互异,并且定理7.2（聚点定理）定义2??定义2由极限的定义可知这是显然的.实数轴上的任意有界无限点集必有聚点.聚点定理与有限覆盖定理我们再次使用区间套定理来证明聚点定理,请务必证因为S为有界点集,现将[a1,b1]等分为两个子区间[a1,c1],[c1,b1],要注意在区间套的构成中所建立的性质(iii).所以存在正数M,使个区间含有S的无限多个点.聚点定理与有限覆盖定理记该区间为[a2,b2].再将[a2,b2]等分为两个子区间.区间含有S的无限多个点,将这个区间记为[a3,b3].同样至少有一个子无限重复这个过程,就可得到一列闭区间(iii)每个闭区间[an,bn]均含S的无限多个点.聚点定理与有限覆盖定理所以由所建立的性质(iii)这就证明了?是S的一个聚点.推论（致密性定理）证设{xn}为有界数列,这些相等的项可成一个子列.若数列{xn}不含有无限多个相等的项,由聚点原理,可设?是{xn}的一个有界数列必有收敛子列.收敛于?.那么再由定义2?,可知{xn}中有一个子列若{xn}中有无限项相等,取该子列显然是收敛的.则{xn}作为点集是有界的.聚点,聚点定理与有限覆盖定理定理7.2有一个非常重要的推论(致密性定理).该定理在整个数学分析中,显得十分活跃.又因由极限的不等式性质,可得例1证聚点定理与有限覆盖定理例2用致密性定理证明柯西收敛准则.证聚点定理与有限覆盖定理下面证明{an}以A为极限.因为{an}是柯西列,所以对于任意正数聚点定理与有限覆盖定理定义3设S为数轴上的一个点集,H为一些开区间的集合则称H是S的一个开覆盖.若H是S的一个开覆盖,并且H中的元素(开区间)仅有有限个,一个开覆盖.聚点定理与有限覆盖定理则称H是S的一个有限开覆盖.定理7.3(海涅—博雷尔有限覆盖定理)设H是闭区间[a,b]的一个开覆盖,证证明该定理有多种海涅(Heine,H.E.1821-1881,德国)博雷尔(Borel,E.1871-1956,法国)出有限个开区间,构成闭区间[a,b]的一个子覆盖.要注意区间套的取法.间套定理来证明,仍然方法.这里还是运用区聚点定理与有限覆盖定理则从H中可选也就是说[a,b]不能被H中任何再将[a1,b1]等分成两个子区间,将区间[a,b]等分成两个子那么这两个子区间中至少有一个不能被H中任意有限个开区间所覆盖,不能被H中有限个开区间所覆盖.显然有若定理不成立,有限个开区间所覆盖.区间,[a1,b1].设该区间为其中至少有一个聚点定理与有限覆盖定理同样有[a2,b2].设该区间为(iii)对每一个闭区间[an,bn],都不能被H中有限个满足下列三个性质:将上述过程无限进行下去,可得一列闭区间聚点定理与有限覆盖定理开区间所覆盖.这就是说,[aN,bN]被H中的一个开区间所覆盖,矛盾.聚点定理与有限覆盖定理区间(0,1).注定理