数学分析（4版）-华东师范大学第8章不定积分.pptVIP

一、原函数不定积分是求导运算的逆运算.§1不定积分概念与基本积分公式数学分析第八章不定积分二、不定积分四、基本积分表三、不定积分的几何意义*点击以上标题可直接前往对应内容

微分运算的逆运算是由已知函数f(x),求函数F(x),原函数例如后退前进目录退出原函数

定义1例1数:原函数

从(iii)(iv)可以看出,尽管象原函数这种形式简单的函数,一件容易的事.要求出它们的原函数也不是

研究原函数有两个重要的问题:1.满足何种条件的函数必定存在原函数?如果存2.若已知某个函数的原函数存在,如何把它求出在原函数,它是否惟一?来?原函数定理8.1（原函数存在性定理）在第九章中将证明此定理.数F,即

定理8.2（原函数族的结构性定理）(ii)f(x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.原函数证

(ii)设F(x)和G(x)是f(x)在I上的任意两个原由第六章拉格朗日中值定理的推论,即知函数,则原函数

定义2不定积分在I上的不定积分,不定积分

为方便起见,我们记由此,从例1(ii)(iii)(iv)可得:不定积分

若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图所有的积分曲线都是不定积分的几何意义像是f(x)的一条积分曲线.到的.沿纵轴方向平移而得由其中一条积分曲线不定积分的几何意义的原函数正是在积分曲线中通过点的那一条积分曲线.

例如,质点以匀速v0运动时,其路程函数若t0时刻质点在s0处,且速度为v0,则有不定积分的几何意义

由基本求导公式可得以下基本积分公式:基本积分表基本积分表

基本积分表

定理8.3（不定积分的线性运算法则）由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算上都存在原函数,k1,k2为任意常数,例1则法则.基本积分表

例2例3例4基本积分表

例5基本积分表解设可得设

一、换元积分法不定积分是求导运算的逆运算,相应于复合函数求导数的链式法则和乘法求导公式,不定积分有换元积分法和分部积分法.§2换元积分法与分部积分法数学分析第八章不定积分二、分部积分法*点击以上标题可直接前往对应内容

定理8.4（换元积分法）换元积分法后退前进目录退出换元积分法

证(i)换元积分法

(ii)中的一个必要条件.§2换元积分法与分部积分法换元积分法定理8.4(i)通常称为第一换元积分法；(ii)称为第二换元积分法.

第一换元积分法亦称为凑微分法,即常见的凑微分形式有换元积分法

换元积分法

例1解换元积分法

例2解换元积分法

例3解换元积分法

解例5解例4换元积分法

(解法二)解(解法一)例6换元积分法

解例7换元积分法

例8解换元积分法

求例9解这里可借助辅助直角三角形,求出sect,tant.换元积分法

例10解其中sect和tant可借助辅助直角三角形求出.换元积分法

例11解换元积分法

换元积分法例12解1解2

定理8.6（分部积分法）分部积分法若u(x)与v(x)可导,不定积分证或两边积分,得分部积分法

1.降幂法等类型函数的不定积例13解分时,可用分部积分法使xn逐次降幂.分部积分法

定积分时,需要使用升幂法.例14解注通过对xn的升幂和lnx的求导,化解了难点.2.升幂法等类型函数的不分部积分法

例15解分部积分法

类型的函数的不定积分时,用分3.循环法例16解(3)解出方程加上常数C即可得不定积分.部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,分部积分法

(4)式代入(3)式,得(4)整理后得到同理分部积分法

分部积分法

4.递推法例17解分部积分法

由此解出分部积分法