数学分析（4版）-华东师范大学第9章定积分.pptVIP

数学分析第九章

定积分§1定积分的概念

在很多数学和物理问题中，经常

需要求一类特殊和式的极限:

n

limf(i)xi,

T0

i1

这类特殊极限问题导出了定积分的概念.

§1定积分的概念

三个典型问题

1.设yf(x),x[a,b],求曲边梯形A的面积

S(A),其中

A(x,y)|x[a,b],0yf(x).

y

yfx

S(A)

Oabx

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数学分析第九章定积分

高等教育出版社

§1定积分的概念

2.已知质点运动的速度为v(t),t[a,b].求从时刻

a到时刻b,质点运动的路程s.

3.已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为

(x),x[a,b],求线状物体的质量m.

显然,当f(x)c为常值函数时，S(A)c(ba);

当为匀速运动时,

v(t)v0sv0(ba);当质量为

均匀分布时，即x为常数时,m(ba).

这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变”的情

情况下，可以用简单的乘法进行计算.

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§1定积分的概念

而现在遇到的问题是“非常值”、“不均匀”、

“有变化”的情形,如何来解决这些问题呢？

以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合

理地归为一类特殊和式的极限.

中心思想：

把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，每个

小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代,

虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的时候,

矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.

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§1定积分的概念

一分为二y

yfx

S(A)

Oax1bx

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§1定积分的概念

一分为四y

yfx

S(A)

Oax1x2x3bx

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§1定积分的概念

y

一分为八

yfx

S(A)

Oax1x3x81bx

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§1定积分的概念

可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形

的面积.

一分为n