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（2024版）
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天津北京师范大学静海附属学校2023-2024学年高二下学期期中阶段检测
数学试题
一、单选题
1．在的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（????）
A． B． C． D．
2．已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（????）
A． B． C． D．
3．用这个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（????）
A．720 B．648 C．320 D．328
4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
5．某学校召集高二年级6个班级的部分家长座谈，高二（1）班有2名家长到会，其余5个班级各有1名家长到会，会上任选3名家长发言，则发言的3名家长来自3个不同班级的可能情况的种数为（????）
A．15 B．30 C．35 D．42
6．函数的导函数的图象如图所示，则（????）
A．为函数的零点
B．函数在上单调递减
C．为函数的极大值点
D．是函数的最小值
7．已知，函数的递增区间为（????）
A． B． C． D．
8．已知，若，则
A． B． C．15 D．35
9．若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
10．在的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于．
11．某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是．
12．如图，现有4种不同颜色给图中5个区域涂色，要求任意两个相邻区域不同色，共有种不同涂色方法；（用数字作答）
13．袋子中装有个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为，则的值为，若从中任取3个球，用表示取出3球中黑球的个数，则随机变量的数学期望．
14．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为．
15．设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是.
三、解答题
16．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求的展开式中的常数项.
(3)求展开式中所有系数的和.
17．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加、、三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目．
(1)共有多少种不同的报名方法？
(2)甲必须报项目，乙必须报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(3)甲、乙报同一项目，丙不报项目，那么有多少种不同的报名方法？
(4)每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法？
(5)甲不报项目，且、项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法？
18．在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制．根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．
(1)求中国队以的比分获胜的概率；
(2)求中国队在先失1局的前提下获胜的概率；
(3)假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．
19．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间和极值；
(2)若对于，都有不等式恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知函数，.
(1)若曲线在处的切线斜率为，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，.
参考答案：
1．D
2．D
3．D
4．C
5．B
6．B
7．C
8．A
9．D
10．252
11．120
12．144
13．2
14．.
15．
16．(1)
(2)
(3)
17．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
18．
【详解】（1）设中国队以的比分获胜的事件为，
所以概率为：.
（2）设中国队在先失一局的前提下获胜的事件为，
则有2种情况：
①中国队连胜3局，此时的概率为：；
②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，
此时概率为：；
所以.
（3）由题意知，
则，
，
，
所以的分布列为：
3
4
5
所以的数学期望为：
.
19．(1)增区间为，减区间为；极大值为，极小值为；
(2).
20．
【详解】（1）∵，则，
由题意可得，解得；
（2）函数的定义域为，
又，
当时，则恒成立，
令，解得；令，解得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
②当，即时，则在定义域上恒成立，
故在上单调递增；
③当，即时，令，解得或；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减，在上
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