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高考中概率问题的常考题型

作者：***

来源：《广东教育（高中）》2021年第10期

概率是研究随机现象规律的数学分支，它为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重

要的思维模式和解决问题的方法，为统计学发展提供理论基础.概率是新课程高考的重要内

容，从2021年及2020年全国新高考Ⅰ卷对概率的考查，可以发现对此内容的考查有所拓展，

比如对相互独立事件的考查，积事件的概率公式的应用等.下面先分析和解答2021年全国新高

考Ⅰ卷第8题，然后再全面了解必修课程中概率问题的考点和常考题型，希望对大家的复习备

考有帮助.

例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，

6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表

示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事

件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

解析：判断两个事件是否相互独立的两种方法：

（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若

没有影响，则两个事件就是相互独立事件;

（2）定义法：通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成

立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.

本题用方法1较难判断，所以采用方法2进行判断.这6个相同的分别标有数字1，2，3，

4，5，6的球，从中有放回的随机取两次，可能的结果可以通过下表得到.

解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（丁）==，

P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），

P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙）=.

故选B.

点评：判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否

成立.

例2.（2020年全国新高考Ⅰ卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的

学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜

欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.62%B.56%C.46%D.42%

解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学

生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，

则P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，

所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.

点评：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.本题也可以类似地通过集合中元素个

数的公式得出结论（必修1第13页），即对于两个有限集合A，B，有：

card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.

从以上两例新高考对概率的考查，我们发现，概率问题很重视慨念的考查，考查的内容符

合新课程标准，符合新课程理念.因此，我们很有必要认真学习新课程标准.

一、课程标准对概率考查的内容要求

在新教材中，对概率的学习分为两部分，一部分在必修课程中，另一部分在选择性必修课

程中.而目前高三学生使用的是老教材，命题却按新的课程标准进行命制，所以把新课程标准

对概率的要求罗列出来，清楚新高考概率的内容要求，对于把握新高考概率的命题走向显得很

有意义.

必修课程对概率考查的内容要求1.

本单元的学习，可以帮助考生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会

计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.

内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性.具体来说，内容包括：“随机事件和概

率”——有限