2023年北京市初三一模数学试题汇编：点和圆、直线和圆的位置关系.docx

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2023北京初三一模数学汇编

点和圆、直线和圆的位置关系

一、解答题

1．（2023·北京丰台·统考一模）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系中，已知点，，．

(1)在点，，，中，_____是正方形的“中称点”；

(2)的圆心在x轴上，半径为1．

①当圆心T与原点O重合时，若直线上存在的“中称点”，求m的取值范围；

②若正方形的“中称点”都是的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．

2．（2023·北京西城·统考一模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个不同的点，满足．其中点为线段的中点，则称点是图形的相关点．

(1)已知点，

①在点中，线段的相关点是_______；

②若直线上存在线段的相关点，求的取值范围．

(2)已知点，，线段的长度为，当线段在直线上运动时，如果总能在线段上找到一点，使得在轴上存在以为直径的圆的相关点，直接写出的取值范围．

3．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为．

(1)已知点．

①点A的关联直线为_________；

②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________；

(2)已知点，点．点M为直线上的动点．

①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；

②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值．

4．（2023·北京房山·统考一模）在平面直角坐标系中，对于直线和点，给出如下定义：

将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，将点关于轴对称点称为点关于直线的“平移对称点”．

(1)如图，已知直线为．

①点坐标为，则点关于直线的“平移对称点”坐标为__________；

②在直线上是否存在点，使得点关于直线的“平移对称点”还在直线上？若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由．

(2)已知直线，若以点为圆心，1为半径的圆上存在一点，使得点关于直线的“平移对称点”在直线上，直接写出的取值范围．

5．（2023·北京朝阳·统考一模）如图，是的弦，过点O作，垂足为C，过点A作的切线，交的延长线于点D，连接．

(1)求证：；

(2)延长交于点E，连接，，若，，求的长．

参考答案

1．(1)，；

(2)①；②．

【分析】（1）由题意可知，正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图可知，符合题意；，，不符合题意；

（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线与此圆相切于点D时，求得直线与y轴交于点；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，即可得到m的取值范围；

②如图，由由题意可知，正方形在内部，当经过时，解得；当经过时，解得，即可求出t的取值范围．

【详解】（1）解：由题意可知，

正方形的“中称点”是以，，，为顶点的正方形内部，如图：

，在正方形内部，符合题意；

在正方形外，在正方形上，不符合题意；

故答案为：，；

（2）①由题意得：的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，

当直线与此圆相切于点D时，设在，

则，

，

，

，，

，

，

故直线与y轴交于点；

同理，相切于点F时，直线与y轴交于点，

直线上存在的“中称点”，

；

②如图，由由题意可知，正方形在内部，

当经过时，，

，

解得：或（舍去）

当经过时，，

，

解得：或（舍去），

综上所述，

．

【点睛】本题考查了新定义的理解，轴对称，圆的基本性质，勾股定理解直角三角形，以及一次函数图像和性质；解题的关键是理解新定义，找到点的轨迹范围．

2．(1)①，；②

(2)

【分析】（1）①根据新定义得出点在以为直径的圆上及其内部，以为直径，为圆心作圆，在圆上或圆内的点即为所求；

②根据①可得点在以为直径的圆上及其内部，作出图形，进而根据直线上存在线段的相关点，求得相切时的临界值，即可求解；

（2）设点是直线上一点，且点，使得在轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，设，则以为直径的圆上两点为直径的圆与轴相切于点，且轴，当且时，轴上存在以为直径的圆的唯一相关点，勾股定理求得的值，进而根据对称性可得当点在轴的下方时，符合题意，即可求解．

【详解】（1）解：①∵，，

∴，

∵是线段的相关点，

∵，

若点分别与点重合，

则中点为，

∴在以为直径的圆上，

∵是线段上的点，

∴点在以为直径的圆上及其内部，

故答案为：，．

②由题意可得线段的所有相关点都在以为直径的圆上及其内部，

如图．设这个圆的圆心是．

??

，，

，．

当直线与相切，且时，

将直线与轴的交点分别记为，

则点的坐标是，．

．

，

，解