北京师范大学第二附属高三上学期期中考试数学试题（解析版）.docVIP

2023届北京师范大学第二附属高三上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若集合，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先将集合化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为，解得

即，且，

所以

故选:C.

2．在复平面内，复数对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.

【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.

故选：A

3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据解析式可直接判定奇偶性和单调性，得出答案.

【详解】对A，根据正弦函数的性质可得是奇函数，在单调递增，故A正确；

对B，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故B错误；

对C，在单调递递减，故C错误；

对D，的定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误.

故选：A.

4．已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由条件求出，再根据角的旋转及诱导公式即可求解.

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

所以

故选：B

5．设，，，则，，的大小关系为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用中间数和对数函数的单调性可判断三者之间的大小，从而可得正确的选项.

【详解】因为，，故.

因为，故，

故选：C.

6．为等比数列，若，，成等差数列，则（）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【分析】设公比为，即得，根据等差中项的性质有，即可求值.

【详解】设的公比为，则，而，，成等差数列，

∴，即，解得.

∴.

故选：A.

7．若，则一定有（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用不等式的性质或反例逐项检验后可得正确的选项.

【详解】取，则，，，故A、B、C均错误，

由不等式的性质可得，故D正确.

故选：D.

8．已知非零向量，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，

∴不是的充分条件，

当时，，∴,∴成立，

∴是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.

9．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）

A．32 B．33 C．34 D．35

【答案】D

【解析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出，结合等差数列的求和公式得出，再由求出的值.

【详解】根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，，则有

则有，则，所以

解得，因为年龄为整数，所以.

故选：D

10．设A，B是有限集，定义：，其中表示有限集A中元素的个数．命题①：对任意有限集A，B，“”是“”的充分必要条件；命题②：对任意有限集．则下列选项正确的是（）

A．命题①和命题②都成立 B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立

【答案】A

【分析】由题意，结合集合的相关性质，结合充分必要条件的定义，以及图，结合作差法，可得答案.

【详解】对于命题①，若，则，所以，反之可以把上述过程逆推，

故“”是“”的充分必要条件，则命题①成立；

对于命题②，

，所以，

同理可得，，

所以，

命题②成立.

故选：A.

二、填空题

11．函数的定义域是_________．

【答案】

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于零，和对数的真数大于零即可求出答案．

【详解】解：由题意得，解得，

∴函数的定义域为，

故答案为：．

12．已知向量，向量，若与垂直，则实数m的值为__________．

【答案】##

【分析】根据向量垂直，利用向量数量积的坐标表示列方程求参数m.

【详解】由题设，又与垂直，

所以，可得.

故答案为：

13．已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是____________．

【答案】2（答案不唯一）

【分析】由题设得求参数范围，即可得结果.

【详解】由题设且，可得，

所以，符号条件的一个a值为2.

故答案为：2（答案不唯一）

14．记为不超过实数的最大整数，例如，，，．设为正整数，数列满足，，现有下列命题