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第2课时全称量词命题与存在量词命题的否定

学习目标1.通过对命题的否定的认识,提升数学抽象的素养.2.通过对含有一个量词的命题的否定的理解,提升逻辑推理素养.

知识梳理·自主探究师生互动·合作探究

知识梳理·自主探究知识探究1.命题的否定当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题.思考:对于不含量词的命题如何进行否定?提示:条件不变,只把结果否定.

2.全称量词命题的否定?x∈M全称量词命题p全称量词命题p的否定结论?x∈M,x具有性质p(x),x不具有性质p(x)全称量词命题的否定是命题3.存在量词命题的否定存在量词命题p存在量词命题p的否定结论?x∈M,x具有性质p(x),x不具有性质p(x)存在量词命题的否定是命题存在量词?x∈M全称量词

拓展总结常见词语的否定词语词语的否定等于不等于大于不大于(即小于或等于)小于不小于(即大于或等于)是不是都是不都是(与“都不是”区别开)至多一个至少两个至少一个一个也没有任意某个所有的某些

师生互动·合作探究探究点一全称量词命题的否定[例1]写出下列全称量词命题的否定,并判断其真假.(1)任何一个平行四边形的对边都平行;解:(1)命题的否定为:存在一个平行四边形,它的对边不都平行,假命题.(2)?a,b∈R,方程ax=b都有唯一解.解:(2)命题的否定为:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在,真命题.

方法总结全称量词命题的否定的两个关注点(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,不要将否定直接写成“是”或“不是”,而要具体情况具体分析.

针对训练:命题“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是()A.?a?R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根B.?a?R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根C.?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根D.?a∈R,一元二次方程x2-ax-1≠0没有实根解析:根据全称量词命题的否定可知,命题“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根”的否定是“?a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0没有实根”.故选C.

探究点二存在量词命题的否定[例2]写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.(1)p:?x1,使x2-2x-3=0;解:(1)p的否定:?x1,x2-2x-3≠0.(假命题).(2)p:有些素数是奇数;解:(2)p的否定:所有的素数都不是奇数.(假命题).(3)p:有些平行四边形不是矩形.解:(3)p的否定:所有的平行四边形都是矩形.(假命题).

方法总结存在量词命题的否定是全称量词命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论.

针对训练:写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.(1)有些实数的绝对值是正数;解:(1)命题的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”,它是假命题.(2)有些平行四边形是正方形;解:(2)命题的否定是“每一个平行四边形都不是正方形”,它是假命题.

探究点三存在量词命题、全称量词命题的综合应用[例3]已知函数y=x2-2x+5.(1)是否存在实数m,使不等式m+y0对于任意x∈R恒成立,并说明理由;解:(1)不等式m+y0可化为m-y,即m-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m-4即可.故存在实数m,使不等式m+y0对于任意x∈R恒成立,此时m的取值范围是(-4,+∞).

[例3]已知函数y=x2-2x+5.(2)若存在一个实数x,使不等式m-(x2-2x+5)0成立,求实数m的取值范围.解:(2)不等式m-(x2-2x+5)0可化为mx2-2x+5,若存在一个实数x,使不等式mx2-2x+5成立,只需mymin,又y=(x-1)2+4,所以ymin=4,所以m4,所以实数m的取值范围是(4,+∞).

方法总结对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或找出存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,ay恒成立,只要aymax;若存在一个实数x,使ay成立,只需aymin.

针对训练:已知y=3ax2+6x-1(a∈R).(1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有y≤0;(1)证明:当a=-3时,y=-9x2+6x-1=-(9x2-6x+1)=-(3x-1)2≤0,所以对任意x∈R,都有y≤0.

针对训练:已知y=3ax2+6x-1(a∈R).(2)方程y=4x有两个不相等的正实数根,求实数a的取值范围.

当堂检测C1.命题“?x∈R,|x|+x2≥0”的否